La base joue un rôle essentiel dans cet exercice.

Tout d'abord, pour démontrer que deux applications linéaires sont égales, il suffira de vérifier que les images des vecteurs d'une base sont égales d'après le théorème suivant :

Une application linéaire d'un espace vectoriel de type fini dans un espace vectoriel quelconque est entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base de l'espace vectoriel de départ.

Quant à la propriété suivante, ce sera la première étape quasiment systématique de la détermination du rang d'une application linéaire.

Soient et deux espaces vectoriels sur un même corps et une application linéaire de dans . On suppose l'espace vectoriel de type fini.

Alors, l'image de est un espace vectoriel de type fini.

Plus précisément, si est la dimension de et une base de , est une famille de générateurs de .

Enfin le théorème du rang est toujours un outil extrêmement fort dans ce genre de problème.