1. On va comparer les images des vecteurs de la base respectivement par l'endomorphisme nul et par .

    Comme pour tout , , on calcule tout d'abord en utilisant la définition de . On obtient :

    Comme , il vient alors pour : , ce qui achève la démonstration.

  2. On sait que l'image de est engendrée par les vecteurs est une base de . Donc, comme , l'image de est engendrée par les vecteurs

    Le rang de sera donc égal au rang du système de vecteurs .

    En utilisant le principe vu dans la ressource consacrée au rang d'une famille finie de vecteurs, on peut affirmer que le rang des vecteurs est égal au rang des vecteurs avec

    Il est visible que .

    Donc le rang des vecteurs est égal au rang des vecteurs ,

    qui est égal à .

    Le rang est donc égal à .

    De la même façon, on sait que l'image de est engendrée par les vecteurs avec

    .

    Ces expressions prouvent que engendre l'image de ; comme c'est un vecteur non nul, il définit une base de l'image de qui est donc de rang .

    En appliquant le théorème du rang successivement à et à , on a immédiatement

  3. Montrons que la somme de et du sous-espace engendré par (noté ) est directe. Pour cela il suffit de démontrer que l'intersection de ces deux sous-espaces est réduite à .

    Soit donc un élément de cette intersection. Comme est un élément de , il existe un scalaire tel que .

    Comme est un élément de , . Or donc et donc et .

    Alors la dimension de est égale à la somme des dimensions de et de

    soit .

    Donc ( est inclus dans et a même dimension que ).

    On a donc l'égalité.

    Remarquer qu'il n'a pas été nécessaire de déterminer explicitement pour aboutir au résultat.