Montrons que .

Soit un élément de . On a .

Comme donc est un élément du noyau de .

A noter que cette démonstration n'utilise que la définition du noyau et absolument pas un argument de dimension. Ce résultat est donc vrai pour un endomorphisme quelconque d'un espace vectoriel quelconque.

Soit une base de .

D'après l'inclusion que l'on vient de démontrer, appartient à

et est une partie libre de .

On peut donc appliquer le théorème de la base incomplète et comme l'on sait que est de dimension , il existe un vecteur tel que soit une base de .

Le vecteur est dans , donc .

Ce qui prouve que est dans .

Donc s'écrit comme une combinaison linéaire d'une base de ce qui signifie ici qu'il existe un réel tel que .

Notons immédiatement que est non nul car sinon, serait dans le noyau de et la partie ne serait pas libre.

On peut donc écrire : .

Ce qui prouve que le vecteur appartient à l'image de ; comme c'est une base du noyau de , cela prouve l'inclusion .

La réponse à la question posée est donc oui !

Remarque

Il faut noter que les seules hypothèses qui ont été effectivement utilisées sont les hypothèses de dimension sur et . Cela veut dire que l'on a, plus généralement, la propriété suivante :

Soient un espace vectoriel et un endomorphisme de vérifiant : et .

Alors .

La démonstration est rigoureusement la même que dans l'exercice proposé.