On sait que l'intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.

Comme est inclus dans et dans , est un sous-espace vectoriel de et un sous-espace vectoriel de .

Comme et sont de dimension , leurs sous-espaces ne peuvent être que de dimension ou .

Si est différent de , sa dimension n'est pas égale à et donc elle vaut .

Or on sait que si deux sous-espaces vectoriels sont inclus l'un dans l'autre et si ils ont même dimension, ils sont égaux.

On en déduit donc que et .

On trouve donc le résultat "naturel" suivant : deux droites vectorielles sont ou confondues, ou n'ont en commun que le vecteur nul (ne pas oublier que toutes les droites vectorielles contiennent ).