Nous savons que la somme est un sous-espace vectoriel de .

Compte tenu du résultat de la question, le sous-espace n'est pas réduit au vecteur nul, donc la somme n'est pas directe.

Nous allons indiquer deux méthodes possibles pour montrer que .

La première, élémentaire, consiste à démontrer l'inclusion en utilisant la définition de la somme de sous-espaces.

Soit donc un élément quelconque de .

Pour démontrer l'inclusion , il faut montrer l'existence d'un élément de et d'un élément de tels que .

L'élément appartient à si et seulement si il s'écrit .

L'élément appartient à si et seulement si il s'écrit .

Il s'agit donc de montrer que le système réel suivant a au moins une solution :

représentent l'inconnue et les données.

Ce système est équivalent au système :

qui est lui-même équivalent à

D'où on déduit qu'un quadruplet est un réel quelconque est solution du système. Notez qu'il n'y a pas unicité des solutions (résultat attendu puisque la somme n'est pas directe).

La deuxième méthode, utilisant la notion de dimension, consiste à démontrer que et ont même dimension.

Elle est basée sur la propriété du cours suivante : si et sont deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel de type fini, on a :

.

En appliquant ce résultat, ici, compte tenu des résultats des trois premières questions, on obtient :

Le sous-espace , inclus dans et ayant même dimension que , est donc égal à .