Pour répondre à la question, il suffit de trouver un vecteur de tel que soit une partie libre (un tel vecteur existe d'après le théorème de la base incomplète appliqué à la famille libre ).

Le sous-espace de engendré par un tel vecteur répondra à la question.

Il y a donc une infinité de solution.

Par exemple considérons le premier vecteur de la base canonique de , .

Soit des scalaires tels que .

Cette égalité équivaut à l'égalité : , qui implique immédiatement .

La famille est donc libre et le sous-espace est bien tel que la somme soit directe.

Remarquons que la simple considération des dimensions prouve que tout sous-espace répondant à la question sera un supplémentaire de (i.e. tel que ).