On sait que dans un espace de type fini, l'image d'un endomorphisme est engendrée par les images des vecteurs d'une base.

Ici, est donc engendré par (on peut exclure qui est nul).

On pourrait utiliser l'algorithme de détermination du rang d'un système de vecteurs. Cependant, ici, il est pratiquement "visible" que , ce qui prouve que est une famille génératrice de l'image de et que le rang de est inférieur ou égal à .

Intuitivement , on peut penser que la partie est libre (par exemple en remarquant que les vecteurs et n'apparaissent que dans l'expression de et en remarquant que visiblement et ne sont pas proportionnels). Evidemment ces remarques ne constituent pas une démonstration mais seulement un support pour l'intuition.

Nous allons prouver que est une partie libre.

Soit donc une combinaison linéaire nulle de ces vecteurs : .

Ceci équivaut à l'égalité : et donc au système :

(en utilisant le fait que est une partie libre).

Ces relations impliquent immédiatement que .

Ceci achève la démonstration. Le rang de est donc égal à .

Pour étudier la dimension de l'image de l'idée est la même, mais la justification est beaucoup plus rapide puisque nous avons trouvé dans la première question que tous les vecteurs étaient proportionnels à . Le vecteur non nul est donc une famille libre génératrice de .

Donc la dimension de est égale à .