Solution de la question 4.a

La démonstration va comporter deux étapes : on sait qu'une base d'un sous-espace vectoriel est formée de vecteurs du sous-espace ; donc la première chose à vérifier est que les vecteurs et sont bien dans le noyau de .

C'est immédiat pour puisque .

Pour on calcule .

Comme on a c'est-à-dire, compte tenu des résultats trouvés dans la première question pour ,

ce qui nous donne le résultat de la première étape.

Quant à la deuxième étape, on pourrait, bien sûr, démontrer que est une partie libre qui engendre le noyau de . Mais on a déjà un renseignement sur ce noyau : on sait qu'il est de dimension . Par conséquent, d'après le cours, il suffit de démontrer l'une des deux propriétés "libre" ou "engendre".

On va démontrer que c'est une partie libre.

Soient donc deux scalaires et tels que .

Cela équivaut à soit , ce qui implique immédiatement .

Ceci achève la démonstration.

Solution de la question 4.b.

La partie est une partie libre du noyau de ,

donc du noyau de puisque .

Comme on a vu que est de dimension le théorème de la base incomplète nous donne immédiatement le résultat.

Solution de la question 4.c

Dans la question 4.b on a obtenu un résultat qualitatif : il existe bien une base de dont deux vecteurs sont .

Dans cette question 4.c on va trouver effectivement une telle base.

Il suffit de vérifier que les vecteurs proposés par le texte conviennent.

Il est immédiat que ce sont des éléments de puisque et sont dans .

De plus, comme on connaît à l'avance la dimension de et que l'on considère un nombre de vecteurs exactement égal à cette dimension, il suffit de vérifier qu'ils forment une partie libre.

Soit donc des scalaires et tels que ,

égalité qui équivaut à et donc au système :

Il est clair que ces relations impliquent : .