Là aussi, un argument de dimension va simplifier le travail :

en effet si on démontre que la somme de et du sous-espace engendré par est directe, la dimension de est égale à la somme des dimensions c'est-à-dire .

Comme c'est un sous- espace de qui est lui-même de dimension ,

on a immédiatement l'égalité et la conclusion souhaitée.

Il suffit donc de démontrer que .

Soit un élément de .

Il existe des scalaires et tels que ,

soit ,

égalité qui implique (l'étude successive des composantes sur et donne immédiatement puis , puis enfin et ).

Ceci achève la démonstration.

Remarque

On aurait aussi pu démontrer que la famille formée des vecteurs définissant une base de , par exemple ceux trouvés dans la question , et du vecteur était libre. On aboutissait exactement au même type de calcul que précédemment.