On montre que :

soit un vecteur de ,

et

donc ,

donc puisque est linéaire,

donc puisque que la famille est libre, donc .

Donc .

Pour montrer que la dimension de est , il suffit de démontrer que

la famille est libre :

soient des réels tels que . En appliquant à cette égalité et en se servant de la linéarité de , on obtient : ,

donc puisque que la famille est libre.

Donc la dimension de est , ce qui entraîne :

.

Comme , on en déduit :

Remarque

d'après la remarque du , on peut écrire ce résultat sous la forme :

.