1. On détermine une base de :

    On sait que l'image d'une application linéaire définie sur un espace vectoriel est engendrée par les images par des vecteurs d'une base de cet espace vectoriel.

    Soit la base canonique de .

    est donc le sous-espace engendré par la famille .

    On détermine ces vecteurs :

    ,

    ,

    ,

    .

    On remarque que et que .

    La famille est donc une famille génératrice de , de plus elle est libre puisque et ne sont pas colinéaires.

    Donc est une base de , avec et .

  2. On veut montrer que .

    Montrons l'inclusion : il suffit de vérifier que les vecteurs d'une base de appartiennent à . En calculant les images des vecteurs de la base trouvée précédemment, on trouve :

    et

    donc .

    On pourrait vérifier ensuite que est contenu dans , mais il est plus simple de remarquer que est de dimension dans un espace de dimension , donc est aussi de dimension .

    On a donc et , d'où .

  3. De l'égalité , on déduit .

    De plus est un vectoriel de dimension , et on a vu dans la question

    que la famille est telle que la famille est libre.

    L'endomorphisme vérifie bien les conditions et de les parties et .

  4. On a montré que . Cela entraîne que pour tout entier supérieur ou égal à , on a .

    En effet cela se démontre par récurrence :

    La propriété est vraie pour .

    Supposons qu'il existe , , tel que , alors .

    Donc .