1. Soit .

On veut montrer que est bijectif. Puisque est un endomorphisme d'un espace vectoriel de type fini, on a les équivalences suivantes :

Il suffit donc de démontrer que est injectif, ce qui équivaut à .

Déterminons :

un vecteur appartient à si et seulement si , or

donc appartient à si et seulement si .

On applique à cette égalité, on trouve , et comme , on obtient .

Or , donc . On a donc , d'où est bijectif.

Donc est un automorphisme de .

Remarque

Pour déterminer , on peut aussi chercher les , vérifiant à l'aide de l'expression de ; cette méthode conduit à la résolution d'un système de quatre équations à quatre inconnues et est plus calculatoire et plus longue que la méthode donnée ici.

Calculons : on a .

Lorsqu'on a deux endomorphismes et d'un vectoriel et qu'on veut calculer , où est un entier supérieur ou égal à , si les deux endomorphismes commutent, c'est-à-dire , on a le droit d'utiliser la "formule du binôme" :

(cette formule se démontre par récurrence sur )

Ici on a ; de plus pour tout entier , et .

Donc , c'est-à-dire .

On en déduit .

Remarque

En calculant directement , ( ), puis , on peut remarquer que , et que et ensuite montrer par récurrence que .