L'hypothèse entraîne l'inclusion , et donc l'inégalité .

En ajoutant aux deux membres de cette inégalité, et en utilisant le théorème du rang,

( ), on obtient : .

Comme la dimension de est , on en déduit l'inégalité : .

Les seules possibilités pour sont alors ou .

Si cette dimension était , cela signifierait que le noyau de serait , c'est-à-dire que serait nul, ce qui est contraire aux hypothèses.

Donc on a .