L'hypothèse entraîne l'inclusion .

L'inclusion entraîne l'inégalité .

En ajoutant aux deux membres de cette inégalité, et en utilisant le théorème du rang

( ), on obtient : , donc .

Or d'après les hypothèses, la famille est libre ;

de plus elle est contenue dans , or la dimension d'un sous-espace est égale au nombre d'éléments d'une base, laquelle est une partie libre maximale.

Donc .

Les inégalités et entraînent .

On déduit alors du théorème du rang : .

On a donc et , donc .

Remarque

Nous avons montré de plus dans cette question que ,

et comme la famille est libre, on en déduit qu'elle détermine une base de .

Donc .