On cherche une base répondant aux critères de la question :

On détermine :

Donc .

Le sous-espace est de dimension

et une base de est avec .

On détermine :

Donc .

Le sous-espace est de dimension

et une base de est avec .

L'espace vectoriel admet donc la base vérifiant et .

Remarque

Puisque vérifie les trois conditions des partie , et (en effet on a vu dans la partie que

et il est immédiat que est différent de et de ),

on savait d'avance que la dimension de , ainsi que celle de , était comprise strictement entre et , c'était donc .