1. Première méthode : on utilise la caractérisation d'une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel de type fini :

    Soit un vectoriel de type fini et une base de .

    Une application de dans est une forme bilinéaire symétrique sur si et seulement si il existe des scalaires , , , tels que pour tout , et tout , avec pour tout et compris entre et .

    Si est la base canonique de et si , alors et , et . Il existe bien des scalaires , , , tels que pour tout , et tout , avec pour tout et compris entre et .

    L'application est une forme bilinéaire symétrique sur .

    Deuxième méthode : on utilise la définition d'une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel.

    Pour un vecteur fixé dans , l'application est une application linéaire de dans .

    De plus, pour tout de , .

    Pour un vecteur fixé dans , l'application est donc elle aussi une application linéaire de dans .

    L'application est bien une forme bilinéaire symétrique sur .

  2. Soit la matrice associée à dans la base canonique de . C'est la matrice carrée symétrique d'ordre 3 de terme général .

    Ces scalaires peuvent être obtenus directement avec l'expression de : ce sont les scalaires , , ,

    tels que pour tout , et tout , avec pour tout et compris entre et .

Alors, .

3. Soit la forme quadratique associée à .

Si , et .

4. . Les vecteurs sont linéairement indépendants, et, comme , ils déterminent une base de .

Soit la matrice de passage de la base à la base , .

La matrice associée à dans la base est telle que .

Soit un élément de tel que . Alors, si .

Ainsi, sur la base , la forme quadratique associée à est décomposée en une somme de carrés.