1. L'image par du vecteur est : .

    Donc pour tout , .

    Soit un entier fixé compris entre et . Pour calculer , il faut repérer dans l'expression les termes où apparaît .

    En isolant le scalaire on a : , où :

    Dans l'expression , le scalaire n'intervient pas.

    Par conséquent , ce qui donne :

    .

    D'où :

    .

    On a donc démontré que pour tout et tout entier , :

    .

    On a aussi :

    d'après le résultat précédent.

    Donc, en utilisant la bilinéarité de , on obtient :

    On a donc démontré :

  2. Applications

    • a) Pour dans , .

      Dans cet exemple, et sont identiques.

      En notant la base canonique de , d'après le résultat , on a pour et dans :

      .

      Les trois dérivées partielles de sont : , , , donc , par conséquent :

      .

      La matrice associée à la forme quadratique q dans la base canonique est donc

      .

    • b) Soit l'application de dans définie par .

      En développant le deuxième membre de cette égalité, on obtient un polynôme homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées , donc est une forme quadratique.

      Soit l'application définie par :

      D'après la question précédente, en notant la forme bilinéaire symétrique associée à , on a pour tout et tout entier , :

      .

      Soit un entier fixé compris entre et . Pour déterminer , on écrit sous la forme suivante :

      D'où

      Donc pour tout , on a

      d'où

      La matrice de dans la base est donc :