1. Soient les coefficients de , ceux de et la base canonique de . On note la forme bilinéaire de dont la matrice dans la base est et la forme bilinéaire de dont la matrice dans la base est .

    Par définition de et , on a et .

    En notant la matrice colonne dont les coefficients sont les coordonnées du vecteur de la base ( est la matrice de dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la ligne qui vaut ), et en identifiant la matrice scalaire et le scalaire , on obtient :

    et .

    Comme on a l'égalité pour tout et tout de , on en déduit , donc , par conséquent :

    .

    Remarque : on peut aussi ne pas introduire les formes bilinéaires et , et considérer directement les matrices colonnes définies précédemment pour montrer que et .

  2. Si est une matrice symétrique d'ordre , à coefficients dans , on considère la forme quadratique définie pour tout de par :

    ,

    est la matrice colonne dont les éléments sont les coordonnées de dans la base canonique de , (la matrice scalaire est identifiée au scalaire ).

    La matrice A est alors la matrice associée à q dans la base canonique de .

    Donc si on a l'égalité pour tout de , avec et des matrices symétriques, les formes quadratiques associées à et sont égales.

    Par conséquent les matrices et sont égales : .

  3. Soit une matrice non nulle antisymétrique d'ordre à coefficients dans , et soit la forme bilinéaire définie sur , associée à la matrice .

    La forme bilinéaire est alors antisymétrique et par conséquent : .

    Donc on a l'égalité pour tout de .

    Or pour , matrice nulle d'ordre , on a aussi pour tout de .

    Donc les matrices et sont distinctes et pourtant l'égalité est vérifiée pour tout de .

    Exemple :

    : avec