1. La matrice associée à la forme quadratique dans la base est la matrice telle que .

    La forme quadratique est non dégénérée si et seulement si le déterminant de est non nul.

    On calcule le déterminant de .

    On effectue d'abord la transformation suivante :

    .

    puis on effectue successivement les transformations : ,

    • Si le déterminant de la matrice est différent de , la forme quadratique est non dégénérée.

    • Si ou , le déterminant de la matrice est nul, la forme quadratique est dégénérée.

  2. Soit l'orthogonal de pour la forme quadratique .

    • Si la forme quadratique est non dégénérée, d'où .

    • Si , est la matrice associée à dans la base , .

      Soit un vecteur de , on note la matrice colonne , alors .

      .

      Le sous-espace vectoriel est la droite vectorielle de base .

    • Si , est la matrice associée à dans la base , .

      Soit un vecteur de , on note la matrice colonne ,

      .

      Le sous-espace vectoriel est le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs et . Ces deux vecteurs sont linéairement indépendants, d'où la dimension de est égale à 2.

  3. Soit la forme bilinéaire symétrique associée à .

    • ,

      La matrice associée à la restriction de à dans la base est alors

      , , la restriction de à est non dégénérée.

      .

      La matrice associée à la restriction de à dans la base est alors

      ,

      , la restriction de à est non dégénérée.

    • Soit la matrice associée à dans la base ,

      .

      .

      La matrice associée à la restriction de à dans la base est alors

      , , la restriction de à est non dégénérée.

      .

      La matrice associée à la restriction de à dans la base est alors

      ,

      , la restriction de à est dégénérée.

Remarque :

La forme quadratique est non dégénérée et sa restriction à est dégénérée.

Le fait de savoir si une forme quadratique sur un espace vectoriel est dégénérée ou non ne permet pas de savoir si sa restriction à un sous-espace vectoriel est dégénérée ou non.