1. .

    La matrice associée à dans la base canonique de est : , , le rang de est égal à 3 et .

  2. Soit la base canonique de . Le sous-espace vectoriel est engendré par les vecteurs et , d'où : .

    Soit

    et .

    D'où et .

    , , le sous-espace vectoriel est isotrope pour mais non totalement isotrope car n'est pas inclus dans .

  3. La matrice associée à dans la base canonique de est .

    La matrice de la restriction de au sous-espace vectoriel dans la base est ,

    , la restriction de à est dégénérée et donc le sous-espace vectoriel est isotrope pour mais non totalement isotrope car .

    D'après la matrice , , d'où le vecteur appartient à l'orthogonal de .

    D'autre part la forme bilinéaire étant non dégénérée, on a : et donc .

    On retrouve le résultat : .