1. En développant , on obtient : .

    Comme est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de dans la base canonique, est une forme quadratique sur .

    La matrice associée à dans la base canonique est .

  2. Recherche de l'orthogonal , c'est-à-dire du noyau de .

    Soit alors

    ,

    donc , droite vectorielle engendrée par le vecteur .

    De l'égalité , on déduit et on conclut .

    En particulier la forme quadratique est dégénérée.

  3. L'ensemble des vecteurs isotropes, appelé cône des isotropes, est défini par l'égalité : ,

    donc .

    Ainsi .

    D'où , c'est donc un sous-espace vectoriel de .

  4. Soit un sous-espace vectoriel de .

    D'après le cours, totalement isotrope équivaut à .

    Or est un sous-espace vectoriel de dimension 1, il contient donc un seul sous-espace vectoriel non nul. est l'unique sous-espace totalement isotrope.

  5. Tout d'abord quelques remarques :

    Un sous-espace isotrope n'est pas réduit à .

    Un sous-espace isotrope de dimension 1 est totalement isotrope.

    En effet si et si , alors le sous-espace non nul coïncide avec . D'où et est totalement isotrope.

    Autre démarche : le sous-espace étant de dimension 1 est engendré par un vecteur non nul , ; soit un vecteur non nul de alors est un vecteur isotrope et tout vecteur de est aussi isotrope. D'où et est totalement isotrope.

    L'espace entier vérifie et donc est un sous-espace vectoriel de , isotrope, non totalement isotrope, de dimension 3.

    Il reste à trouver un sous-espace isotrope, de dimension 2. Il sera nécessairement non totalement isotrope car différent de .

    Il suffit de choisir un plan de la forme avec linéairement indépendant de .

    Alors donc ainsi .

    Par exemple est un sous-espace vectoriel de , isotrope, non totalement isotrope, de dimension 2.