1. Comme est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de dans la base canonique, est une forme quadratique sur .

    La matrice associée à dans la base canonique est .

  2. Recherche de l'orthogonal , c'est-à-dire du noyau de .

    Soit alors

    ,

    donc , droite vectorielle engendrée par le vecteur .

    De l'égalité , on déduit et on conclut .

    En particulier la forme quadratique est dégénérée.

  3. L'ensemble des vecteurs isotropes, appelé cône des isotropes, est défini par l'égalité : ,

    donc ou .

    Si on note le plan vectoriel engendré par et , celui engendré par et , alors le cône des isotropes est la réunion de ces deux plans : .

    Ce n'est pas un sous-espace vectoriel car cet ensemble n'est pas stable par addition : .

    • Soit un sous-espace vectoriel de , notons .

      La définition de totalement isotrope est : et . Ceci équivaut à et .

      Si , donc n'est pas totalement isotrope.

      Si , donc n'est pas totalement isotrope.

      Si , est une droite vectorielle, par exemple la droite est incluse dans .

      Si , est un plan vectoriel, par exemple le plan est inclus dans .

      Conclusion : il n'existe pas de sous-espace totalement isotrope de dimension 0 ou 3. Il existe des sous-espaces totalement isotropes de dimensions 1 et 2.

    • Pour on recherche toutes les droites vectorielles contenues dans , elles sont de la forme est un vecteur non nul de donc un vecteur non nul de ou .

      D'où ou bien .

      Pour on recherche tous les plans vectoriels contenus dans , il y en a deux et .

  4. Tout d'abord quelques remarques :

    Un sous-espace isotrope n'est pas réduit à .

    Un sous-espace isotrope de dimension 1 est totalement isotrope.

    En effet si et si , alors le sous-espace non nul coïncide avec . D'où et est totalement isotrope.

    Autre démarche : le sous-espace étant de dimension 1 est engendré par un vecteur non nul , ; soit un vecteur non nul de alors est un vecteur isotrope et tout vecteur de est aussi isotrope. D'où et est totalement isotrope.

    L'espace entier vérifie et donc est un sous-espace vectoriel de , isotrope, non totalement isotrope, de dimension 3.

    Il reste à trouver un sous-espace isotrope, non totalement isotrope, de dimension 2. Par exemple le plan vectoriel est isotrope car donc , de plus il est distinct de et de donc non totalement isotrope. Ainsi est un sous-espace vectoriel de , isotrope, non totalement isotrope, de dimension 2.

    En fait tout plan vectoriel contenant le noyau et distinct de et de convient aussi.