• a. Une forme quadratique est dégénérée si et seulement si son noyau n'est pas réduit au vecteur nul. Donc, puisque est dégénérée, on a .

      Si , alors on aurait , par conséquent la forme bilinéaire symétrique serait nulle, ce qui est contraire aux hypothèses.

      Donc .

      On montre :

      Puisque , il existe un vecteur de tel que .

      Si n'était pas colinéaire à , serait une base de .

      Comme le vecteur appartient à , il est orthogonal à tout élément de , donc en particulier à lui-même (donc est isotrope) et à .

      Or le vecteur est lui aussi isotrope, donc la matrice de dans la base serait nulle, ce qui est contraire à l'hypothèse « non nulle ».

      Donc est colinéaire à , et par conséquent

      .

    • b. Soit une base de .

      Soit un vecteur de et , ses coordonnées dans la base : .

      On calcule :

      .

      D'après la question précédente, appartient au noyau de donc est isotrope (ce que l'on savait déjà par hypothèse) et est orthogonal à tout vecteur de donc en particulier à : .

      Par conséquent :

      Pour tout appartenant à , .

      • Remarque : la matrice de dans la base est donc

      Comme la forme quadratique n'est pas nulle, n'est pas nul, donc n'est pas isotrope, quelque soit choisi pour que soit une base de .

    • a. Comme est isotrope pour , tout vecteur de la forme , , est orthogonal à tout vecteur de la forme , , donc appartient à .

      Donc est contenu dans .

      La forme quadratique étant non dégénérée, on a la propriété suivante : .

      Or , d'où .

      Par conséquent :

      .

    • b. Soit un vecteur de non colinéaire à .

      Si était orthogonal à , il serait orthogonal à tout , , donc il appartiendrait à . Or . Donc appartiendrait à , ce qui est absurde car n'est pas colinéaire à .

      Donc n'est pas orthogonal à .

    • On cherche une base telle que pour tout de on ait .

      Or en calculant , on trouve :

      On a , on cherche donc tel que et .

      Le vecteur doit donc être isotrope, non colinéaire à et vérifier .

      Soit un vecteur de non colinéaire à .

      D'après 2.b), n'est pas orthogonal à donc .

      Il existe alors deux possibilités :

      • Soit est isotrope.

        Dans ce cas, le vecteur défini par convient : il est isotrope, puisque l'est, il vérifie et il n'est pas colinéaire à .

        Donc est une base qui correspond aux critères voulus :

        la base est telle que pour tout , , on a .

      • Soit n'est pas isotrope.

        On cherche, pour revenir à la situation précédente, un vecteur isotrope non colinéaire à , alors le vecteur conviendra.

        Comme est une base, on peut chercher sous la forme , où et sont des scalaires non nuls (sinon serait soit colinéaire à , donc non isotrope, soit colinéaire à , ce qui est exclu).

        Or .

        Comme on a , et , en choisissant par exemple et , on obtient .

        Donc est un vecteur isotrope, non colinéaire à .

        Le vecteur défini par vérifie les propriétés suivantes : il est isotrope, il est non colinéaire à et .

        Donc est une base qui correspond aux critères recherchés :

        la base est telle que pour tout , , on a .

      Remarque : la matrice de dans la base est .

  1. Premier cas : lorsque la forme quadratique est dégénérée, il existe une base telle que pour tout de , .

    Donc l'ensemble des vecteurs de isotropes pour est l'ensemble des tels que , c'est donc .

    Deuxième cas : lorsque la forme quadratique est non dégénérée, il existe une base telle que pour tout de , .

    D'où le vecteur est isotrope si et seulement si ou .

    Donc l'ensemble des vecteurs de isotropes pour est .