1. Pour déterminer le rang et la signature de on cherche d'abord une décomposition « en carrés ». On utilise la méthode de Gauss.

L'expression de ne comporte aucun terme « carré ». On privilégie alors un des termes rectangles, par exemple.

D'où, en utilisant l'égalité :

La forme est donc de rang 4, par conséquent elle n'est pas dégénérée. Sa signature est

2. La question précédente a permis de décomposer en combinaison linéaire de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes :

Avec, désignant l'élément de :

Les formes linéaires sont linéairement indépendantes et constituent donc une base de le dual de

On appelle la base canonique de sa base duale. Soit la matrice de passage de la base à la base

Chercher une base orthogonale de relativement à c'est chercher une base telle que

Une base orthogonale de relativement à est donc la base antéduale de c'est à dire avec

La matrice de passage de la base à la base est égale à

Il reste à calculer l'inverse de cette matrice. Pour cela on peut résoudre le système

On a donc

D'où

Soit la base la matrice associée à dans cette base est la matrice diagonale :