1. On cherche d'abord une décomposition de « en carrés » en utilisant la méthode de Gauss.

La discussion concernant le rang et la signature de consiste à envisager les différents cas suivant que les coefficients sont nuls ou non.

Pour la détermination de la signature, la connaissance du signe de est nécessaire, cependant les coefficients étant toujours de signes contraires, seul le signe de intervient dans la discussion. On obtient ainsi les cas suivants :

Signature de suivant :

2. On suppose

On a dans ce cas la forme est dégénérée,

On cherche l'ensemble des vecteurs isotropes (on dit aussi cône isotrope) de c'est-à-dire les tels que

est donc l'ensemble des tels que C'est donc la réunion des hyperplans d'équations respectives relativement à la base canonique de

L'hyperplan admet pour base

L'hyperplan admet pour base

n'est pas un sous-espace vectoriel de car c'est la réunion de deux sous-espaces vectoriels de tels que l'un n'est pas inclus dans l'autre (on peut aussi vérifier que n'est pas élément de donc n'est pas stable pour l'addition).