Comme tout vecteur de s'écrit , avec et , et comme on a , on en déduit , donc :

.

Par conséquent l'endomorphisme de admet une application inverse et cette application inverse est lui même (une telle application est dite involutive).

Ceci prouve, en particulier, que est bijectif.

Donc l'endomorphisme de est un automorphisme de (pour montrer que était un automorphisme, on pouvait aussi remarquer que l'image par d'une base de est une base de ).