Comme est non isotrope et de dimension finie, on a l'égalité , et comme , il vient :

.

Donc pour tout vecteur de , il existe un vecteur et un scalaire tels que .

On calcule : .

Or car et . Donc :

. (**)

Comme la forme bilinéaire symétrique est non dégénérée, son noyau est réduit à . Le vecteur étant non nul, il n'appartient pas au noyau, c'est-à-dire qu'il existe un vecteur de tel que .

Comme, d'après (**), , on en déduit donc :

le vecteur a est non isotrope.

On déduit aussi de l'identité (**), la valeur, pour chaque vecteur de , du scalaire :

.