Symétries hyperplanes

Soit un espace quadratique de dimension , , et son groupe orthogonal.

  • On appelle hyperplan de tout sous-espace de dimension .

  • On appelle symétrie hyperplane de une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan non isotrope de : c'est l'endomorphisme de dont la restriction à est l'homothétie de rapport 1de , c'est à dire l'identité de , et la restriction à est l'homothétie de rapport de , c'est-à-dire « moins l'identité » de .

  • Si est un hyperplan non isotrope de et un vecteur non nul orthogonal à , on a et est non isotrope. Le vecteur détermine de façon unique l'hyperplan et on note la symétrie orthogonale par rapport à .

  • Lorsque est un vecteur non isotrope de , le sous espace est un hyperplan non isotrope de et la symétrie orthogonale par rapport à cet hyperplan se note .