Soient et un vecteur non nul de . Comme est de dimension 1, est une base de et il existe un scalaire tel que . On a :

Par hypothèse conserve donc :

d'où . Comme est non dégénérée et que est une base de , , par conséquent donc ou . Ceci prouve que les seules possibilités pour sont ou . Comme et sont des automorphismes de qui conservent , ce sont donc des automorphismes orthogonaux d'où .