On montre que est une forme bilinéaire symétrique sur , puis qu'elle est non dégénérée et que est de dimension .

Soient des éléments de et des scalaires. On a :

donc est linéaire par rapport à la première variable, de plus :

donc est une forme bilinéaire symétrique sur .

Pour montrer que est non dégénérée, il suffit de montrer que son noyau est réduit au vecteur nul.

Soit un élément du noyau de : c'est un élément de tel que pour tout vecteur on a .

Comme est non isotrope, le sous-espace vectoriel est non isotrope or donc on a .

Soit . Il existe et tel que . Comme , on a :

Donc pour tout , . Ceci prouve que appartient au noyau de , et comme est non dégénérée, est le vecteur nul. On a montré que le noyau de est réduit au vecteur nul donc est non dégénérée.

On a . Par hypothèse , donc .

Comme est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur , est un espace quadratique de dimension .