Conclusion
Lorsque E est un espace vectoriel de dimension finie et f une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur \(E\), l'ensemble des automorphismes de \(E\) qui conservent la forme bilinéaire \(f\) s'appelle le groupe orthogonal de l'espace quadratique \((E,f)\) et est noté \(\bigcirc(E,f)\).
Des éléments particulièrement simples de \(\bigcirc(E,f)\) sont les symétries hyperplanes orthogonales : ce sont les symétries par rapport à un hyperplan non isotrope \(H\) parallèlement à \(H^\bot\), c'est-à-dire dont la restriction à \(H\) est l'homothétie de rapport 1 et la restriction à \(H^\bot\) est l'homothétie de rapport –1.
Le problème montre que tout élément de \(\bigcirc(E,f)\) peut s'écrire comme la composée d'un nombre fini de symétries hyperplanes orthogonales. On dit que les symétries hyperplanes orthogonales engendrent le groupe orthogonal \(\bigcirc(E,f)\).
La décomposition d'un élément de \(\bigcirc(E,f)\) en un produit de symétries hyperplanes orthogonales n'est pas unique. Si par exemple on a une décomposition \(u=s_1\circ \ldots \circ s_r\) et \(s\) une symétrie hyperplane orthogonale, comme \(s\circ s=id\) on a aussi \(u=s\circ s\circ s_1\circ \ldots\circ s_r\)qui est une autre décomposition de \(u\).
On peut déduire du problème une majoration du nombre de symétries hyperplanes orthogonales intervenant dans la décomposition d'un élément de \(\bigcirc(E,f)\) :
si \(\textrm{dim}(E)=n\) alors tout élément de \(\bigcirc(E,f)\) est le produit d'au plus \(2n\) symétries hyperplanes orthogonales.
Ce résultat peut se démontrer par récurrence.
D'après la description faite dans la partie A, le résultat est démontré lorsque \(n=1\). Supposons-le démontré dans le cas où \(\textrm{dim}(E)\leq n-1\). Soit \((E,f)\) un espace quadratique de dimension \(n\) et \(a\) un vecteur non isotrope de \(E\). Si \(u\in \bigcirc(E,f)\), d'après la partie B, questions 2 et 3 du problème, on est dans l'un des trois cas suivants :
1er cas : \(u(a)=a\)
2e cas : il existe une symétrie hyperplane orthogonale \(s_\alpha\) telle que \(s_\alpha\circ u(a)=a\)
3e cas : il existe deux symétries hyperplanes orthogonales \(s_a,s\beta\) telle que \(s_a\circ s_\beta\circ u(a)=a\).
Dans le premier cas, la partie B.3 du problème montre que \(u\) induit sur \((Ka)^\bot\) un automorphisme orthogonal \(v\) qui, d'après l'hypothèse de récurrence, se décompose en un produit de \(2(n-1)\) symétries hyperplanes orthogonales de \((Ka)^\bot\). Ces symétries se prolongent en des symétries hyperplanes orthogonales de \(E\) et \(u\) se décompose en un produit de \(2(n-1)\) symétries hyperplanes orthogonales.
Dans le deuxième cas, on a \(s\alpha\circ u\in (E,f)\) comme composée d'éléments de \(\bigcirc(E,f)\). D'après le premier cas, on en déduit que \(s_\alpha\circ u\) est le produit d'au plus \(2(n-1)\) symétries hyperplanes orthogonales donc que \(u\) est le produit d'au plus \(2(n-1)\) symétries hyperplanes orthogonales.
Dans le troisième cas, le même raisonnement que celui fait dans le cas précédent montre que \(u\) est le produit d'au plus \(2n\)symétries hyperplanes orthogonales.
Une étude plus fine montrerait que, lorsque \(textrm{dim}(E)=n\), tout élément de \(\bigcirc(E,f)\), distinct de l'identité, est le produit d'au plus \(n\) symétries hyperplanes orthogonales.
D'autres compléments sur le groupe orthogonal sont donnés dans le cadre des espaces euclidiens, c'est-à-dire lorsque \(E\) est un \(R\)-espace vectoriel de dimension finie et \(f\) une forme bilinéaire définie positive.
Le problème montre que tout élément de \(\bigcirc(E,f)\) peut s'écrire comme la composée d'un nombre fini de symétries hyperplanes orthogonales. On dit que les symétries hyperplanes orthogonales engendrent le groupe orthogonal \(\bigcirc(E,f)\).