Courbes comme intersection de surfaces
Des exemples géométriques nous montrent un mode de définition des surfaces comme intersection de deux surfaces bien choisies.
Les droites dans l'espace peuvent être définies comme intersection de deux plans.
Un cercle peut être défini comme intersection d'une sphère et d'un plan.
Une ellipse, une parabole, une hyperbole peuvent être définies comme intersection d'un cône et d'un plan par exemple.
Une courbe peut donc être représentée à l'aide de deux équations définissant des surfaces.
Représentation paramétrique d'une courbe
Une droite est définie par une représentation paramétrique à l'aide d'un seul paramètre. Sur l'exemple d'une hélice circulaire tracée sur un cylindre de révolution d'axe \(Oz\), nous voyons que tout plan horizontal \(z = \alpha\) coupe la courbe en un point défini par son paramètre \(\theta\). Choisissons par exemple la relation \(z = \theta\) entre les deux paramètres. On obtient donc la représentation paramétrique d'une hélice circulaire
\(x = cos~\theta, ~~y = sin ~\theta,~~ z = \theta\)
Nous retiendrons l'idée suivante :
Une représentation paramétrique d'une courbe s'obtient en exprimant x, y et z en fonction d'un seul paramètre.
Remarque :
Une représentation paramétrique d'une surface à l'aide de deux paramètres peut être considérée comme définissant des familles de courbes engendrant la surface. Si on fixe un des paramètres, on obtient une courbe. En variant ce paramètre, on obtient une famille de courbes qui "balayent" la surface.
Surfaces réglées
Surfaces engendrées par des droites.
Exemple :
Paraboloïde d'équation \(z = x~y\)
Pour chaque\( x\) on a une famille de droites.
Pour chaque \(y\) on a une famille de droites.