Nous cherchons comment écrire un vecteur quelconque de ; cela revient à résoudre le système (1) donné, ce que nous faisons classiquement en commençant par trianguler le système par la méthode du pivot de Gauss :

On termine la résolution en exprimant les solutions du système en fonction de

Les vecteurs de sont donc les vecteurs de qui peuvent s'écrire sous la forme :

ou encore

Les trois vecteurs

qui interviennent dans la formule forment une base de .

En effet :

Conclusion

est une base de .

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