Droites et plans

Plans

Il y a deux façons type de déterminer un plan dans l’espace :

N.B. : le cas de trois points non alignés se ramène immédiatement à ce deuxième cas.

Passage d'une détermination à l'autre

Suivant les données d'un problème, on est amené à déterminer un plan de manière implicite ou de manière paramétrique. Il arrivera souvent que pour utiliser ce plan on soit amené à considérer l'autre manière. Il est donc important de pouvoir passer d'une détermination à l'autre.

Détermination d’un plan par un point et un vecteur normal

Soit A(a, b, c) un point et V (uvw) un vecteur non nul. On note P le plan passant par A et perpendiculaire à V. On peut trouver une équation de P en exprimant qu’un point quelconque M(xyz) appartient à P si et seulement si le vecteur AMest orthogonal à V, c’est-à-dire si et seulement si AM . V = 0. Ceci donne l’équation :

u (x - a) + v (y - b) + w (z - c) = 0.

Cette équation est une équation implicite en x, y, z, du type général

ux + vy + wz = d.

Réciproquement, il est clair que toute équation de ce type détermine un plan, pourvu que (uvw (0, 0, 0).

Détermination d’un plan par un point et deux vecteurs directeurs

Soit (a, b, c) un point, V1 (u1v1w1) et V2 (u2v2w2) deux vecteurs non colinéaires.

On note P le plan passant par A et dirigé selon V1 et V2. Un point M(xyz) appartient à P si et seulement si AM est combinaison linéaire de V1 et V2 :

determ1

ou encore en prenant les composantes :

determ2

On dit que les équations

determ3

sont un système d’équations paramétriques pour P.

Passage d’une détermination à l’autre

Suivant les données d’un problème, on est amené à déterminer un plan de manière implicite ou de manière paramétrique. Il arrivera souvent que pour utiliser ce plan on soit amené à considérer l’autre manière. Il est donc important de pouvoir passer d’une détermination à l’autre.

Passage implicite flèche paramétrique

Soit P défini par une équation implicite donnant les coordonnées en fonction des paramètres. On cherche des équations paramétriques pour P. Il suffit de considérer l’équation donnant les coordonnées en fonction des paramètres comme un système de 1 équation à 3 inconnues (xyz) et ... de le trianguler.
On trouvera ainsi les trois inconnues en fonction de deux d’entre elles (qui seront les paramètres l et m).

Exemple : l’équation implicite de P étant 2x + y - 3z = 4,on pivotera (sur y) pour calculer les inconnues en fonction de x et z. On trouve les équations implicites par rapport aux paramètres x et z :

eq param 1

On peut aussi écrire :

eq param 2

Bien entendu, en choisissant un autre pivot possible, on aurait pu aussi obtenir x, y, z en fonction de x et y, ou en fonction de y et z.

Passage paramétrique flècheimplicite

Soit P défini par des équations paramétriques donnant les coordonnées en fonction des paramètres. On cherche une équation implicite pour P. Il est possible de le faire en retrouvant les vecteurs V1 et V2 et en posant V=V1 vect V2... , mais nous allons ici prendre une autre méthode basée sur les systèmes linéaires : pour cela, nous considérons le système donnant les coordonnées en fonction des paramètres comme un système de 3 équations (!) à 2 inconnues (l et m) et 3 paramètres (xyz). On triangule ce système par la méthode de Gauss. La condition de possibilité du système est l’équation cherchée (il sera en général inutile de pousser la résolution jusqu’au calcul des inconnues l et m).

Exemple : soit P donné par

eq param 3

On triangule le système en considérant l et m comme inconnues :

triangulation

L’équation implicite cherchée est 3x - 2y + z = 9

Droites

Comme pour les plans, il y a essentiellement deux façons de déterminer une droite de l’espace :

N.B. : la détermination par deux points s’y ramène trivialement.

Passage d’une détermination à l’autre

Les motivations et les méthodes sont analogues à celles utilisées pour les plans. Suivant les pivots choisis pour trianguler les systèmes d’équations considérés, les réponses pourront ici encore prendre des formes différentes.

Détermination d’une droite par deux plans

Soit P1 et P2 deux plans d’équations implicites respectives u1 x + v1 y + w1 z = d1 et u2 x + v2 y + w2 z = d2 ; si ces plans ont des directions différentes, c’est-à-dire si les vecteurs normaux (u1v1w1) et (u2v2w2) sont non colinéaires, l’intersection P1 intersection P2 est une droite D, qui est donc déterminée par un système de deux équations implicites :

eq implicite

Détermination d’une droite par un point et un vecteur directeur

Soit A(a, b, c) un point et V(uvw) un vecteur non nul. Notons D la droite passant par A et dirigée suivant V. Un point M(xyz) appartient à D si et seulement si les vecteurs AM et V sont colinéaires. Comme V 0, on obtient :

determination2

En décomposant suivant les axes de coordonnées, on trouve des équations paramétriques de D :

eq param 4

Passage d’une détermination à l’autre

Les motivations et les méthodes sont analogues à celles utilisées pour les plans. Suivant les pivots choisis pour trianguler les systèmes d’équations considérés, les réponses pourront ici encore prendre des formes différentes.

Passage implicite flècheparamétrique

Soit D une droite définie par des équations implicites

eq implicite

On cherche des équations paramétriques de D. Il suffit de considérer ce système comme un système de 2 équations pour 3 inconnues (xyz), et de le résoudre ; on trouvera les trois inconnues en fonction d’une d’entre elles qui jouera le rôle de paramètre.

Exemple : la droite D est définie par

 eq de D

La triangulation donne

triangulation 2

D’où le paramétrage de D :

param5

Bien entendu, dans les seconds membre, on peut remplacer la notation z par une autre (t par exemple).

Passage paramétrique flècheimplicite

Supposons maintenant D donnée par des équations paramétriques

eq d

et cherchons des équations implicites de D. Il suffit de considérer ce système comme un système de 3 équations à 1 inconnue (t) et à chercher la condition pour que ce système ait des solutions ; pratiquement on trouvera deux conditions, portant sur les paramètres x, y, z, et qui seront les équations implicites cherchées.

Exemple : soit D donnée par

param6

La triangulation du système en t donne

triangulation3

Le système est possible si et seulement si y + z - 3 = 0 et x - 2z - 1 = 0.

Les équations cherchées sont donc y + z = 3 et x - 2z = 1.

Intersection de droites et plans

Comme on sait maintenant passer d’un type d’équation (paramétrique ou implicite) à l’autre, nous n’envisagerons pas tous les cas possibles, mais seulement ceux qui se traitent le plus commodément. L’étudiant curieux parviendra sans trop de peine à faire la théorie des autres cas sans faire la conversion de type ...

Attention quand même : si les deux objets (droites ou plans) sont donnés chacun par un paramétrage, les paramètres n’ont a priori rien à voir entre eux.

Intersection d’une droite et d’un plan

Si la droite et le plan sont donnés par des équations implicites

Soit la droite D donnée par

 eq 3 d

et le plan P donné par u"x + v"y + w"z = d".
Il est clair que l’intersection est obtenue en résolvant un système de 3 équations à 3 inconnues.

Si la droite est donnée sous forme implicite et le plan sous forme paramétrique

Soit la droite D donnée par

eq 3 d

et le plan P donné par

eq P.

En reportant dans les équations de la droite les valeurs de x, y et z en fonction des paramètres, on obtient un système de deux équations à deux inconnues l et m qu’on résout.

Si la droite est donnée sous forme paramétrique et le plan sous forme implicite

Soit la droite D donnée par

 param7

et le plan P donné par u'x + v'y + w'z = d'.

On peut considérer l’intersection comme solution d’un système de 4 équations pour 4 inconnues (xyzt), et en choisissant bien les pivots, la résolution revient à remplacer dans l’équation de P les inconnues x, y, z par leur valeurs tirées du paramétrage de D. Cela donne une équation où il ne reste plus qu’une inconnue t ; on la résout ; si elle donne une solution unique pour t, en reportant cette valeur dans les équations paramétriques de D, on obtient les coordonnées, y, z du point d’intersection, et sinon...

Exemple : chercher la projection orthogonale H du point A(1, 2, 3) sur le plan P d’équation 2x + 3y - z = 7

Le vecteur V= (2, 3, - 1) est orthogonal à ; on peut donc paramétrer la perpendiculaire D issue de A à P par AM = t V, c’est-à-dire

param8

En reportant dans l’équation de P, on trouve 2(1 + 2t) + 3(2 + 3t) - (3 - t) = 7, qui donne t = 1/7. Avec les équations de D on en tire les coordonnées de H : x = 9/7, y = 17/7, z = 20/7.

Pour le même prix, on obtient le symétrique B de A par rapport à P : il suffit de multiplier la valeur de t trouvée ci-dessus par 2 avant de reporter dans les équations paramétriques de D. Pourquoi ? penser à ce que représente t dans l’écriture
AM = t V.

Intersection de deux plans

Si les deux plans sont donnés par des équations implicites Sans commentaire !

Si un plan est donné par une équation implicite et l’autre par des équations paramétriques
Deux possibilités :

Si les deux plans sont données par des équations paramétriques, prendre garde à bien utiliser quatre paramètres distincts ; on a alors trois équations liant ces paramètres et on résout le système qui fournit trois des paramètres en fonction du quatrième ...

Intersection de deux droites

Si les deux droites sont données sous forme implicites, il s’agit de résoudre un système de 4 équations pour 3 inconnues.

Si les deux droites sont données sous forme paramétrique, (il faut prendre garde à bien utiliser deux paramètres distincts), il s’agit de résoudre un système de 3 équations pour 2 inconnues.

Si une des droites est donnée par des équations implicites, l’autre par un paramétrage, comme les fois précédentes, on tire x, y, z du paramétrage pour reporter dans les équations implicites ; on obtient donc 2 équations pour 1 inconnue (le paramètre) ...

Que retenir de ce chapitre ?

Il faut savoir sans aucune hésitation répondre en toutes circonstances à des questions du type :

combien faut-il d’équations implicites pour déterminer un plan ?

combien faut-il d’équations implicites pour déterminer une droite de l’espace ?

combien y a-t-il de paramètres dans le paramétrage d’une droite de l’espace ?

combien y a-t-il de paramètres dans le paramétrage d’un plan ?

Il n’est pas question de retenir par coeur les méthodes à utiliser pour chercher les intersections... Mais il faut savoir résoudre ce genre de questions avec un peu de réflexion

Enfin, il faut savoir ce qu’est un faisceau de plans, et s’en servir pour résoudre des exercices de géométrie analytique.

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