Espaces Rn

Définir Rn

L'ensemble Rn est formé de tous les n - uplets (x1, x2, ..., xn).
Nous noterons les n - uplets X = (x1, x2, ..., xn) par des lettres majuscules et les composantes par des minuscules.

Deux n - uplets (x1, x2, x3 ..., xn) et (x'1x'2x'3, ..., x'n), sont égaux si ils ont les mêmes composantes :
(x1, x2, ..., xn) = (x'1, x'2, ..., x'néquivalent qq soit i, 1 inférieur ou égale i inférieur ou égale nxi = x'i
Le n - uplet (0, 0, ..., 0) est noté 0, comme pour les nombres. Le sens est clair par le contexte.

On utilise sur Rn les deux opérations qui généralisent celles connues sur les vecteurs de l'espace :

Propriétés de l'addition des n - uplets

L'addition vérifie les propriétés suivantes :

  • l'addition est associative :

    qq soitX Rn, qq soitY Rn, qq soitZ Rn   (X + Y) + Z = X + (Y + Z)

  • 0 est un élément neutre :

    qq soitX Rn,   0 + X = X + 0 = X

  • tout élément X a un opposé noté - X :

    X + (- X) = (- X) + X = 0

  • l'addition est commutative :

    qq soitX Rn, qq soitY RnX + Y = Y + X

Remarque : On peut vérifier composante par composante, comme pour les vecteurs de R3.

Propriétés de la multiplication par les nombres

La multiplication des n - uplets par les nombres vérifie les propriétés suivantes :

  • qq soitl R, qq soitm R, qq soitX Rn, (l + m)X = lX + mX,

  • qq soitl R, qq soitm R, qq soitX Rn, qq soitY Rn, l(X + Y) = lX + lY,

  • qq soitR, qq soitm R, qq soitX Rn, l(mX) = (li)X,

  • qq soitX Rn, 1X = X.

Les nombres sont aussi appelés des scalaires. Les éléments de Rn sont appelés vecteurs de Rn, par analogie avec les vecteurs de R3. On dit que l'ensemble Rn de n - uplets est un espace vectoriel. Les calculs sur les éléments de n sont analogues à ceux sur les vecteurs. D'une façon générale, tout ensemble pourvu de deux opérations vérifiant les propriétés énoncées précédemment sera aussi appelé espace vectoriel sur . Les calculs sur les éléments de Rn sont analogues à ceux sur les vecteurs.

On sait que F contient au moins un vecteur X, en utilisant la première relation et en faisant m = 0, on obtient (l + 0)X = lX +0X et on déduit que 0X est le vecteur nul.

Si dans la même relation on fait l = 1 et m = - 1 on obtient 1X + (- 1) X = 0X = 0, ce qui montre que (- 1) X est l'oppose - X du vecteur X.

Sous-espace vectoriel

Nous avons vu dans R3 les droites et les plans vectoriels qui sont stables pour les deux opérations : si on additionne deux vecteurs d'un plan vectoriel, la somme est un vecteur du plan ; si on multiplie un vecteur du plan par un nombre, le résultat est dans le plan. C'est cette idée que nous allons généraliser.

Définition :

Soit une partie F inclusRn, non vide. F est un sous-espace vectoriel de Rn si :

        F est stable par addition, c'est-à-dire que l'on a :

qq soitX F, qq soitY F, X + Y F

        F est stable par multiplication par les scalaires ; le produit d'un élément de F par un scalaire quelconque est dans F :

qq soit l R, qq soitX F, lX F

Comme on a 0 = 0X et - X = (- 1). X, on voit que :

F contient au moins un élément X, alors il contient le vecteur nul et que l'opposé d'un vecteur de F est dans F.

Nature des sous-espaces vectoriels Rn

On considère que Rn est un sous-espace de lui-même. L'ensemble réduit à {0} est aussi un sous-espace vectoriel de Rn. On va chercher quels sont les sous-espaces possibles dans Rn.

Dans R3 il y en a quatre sortes : {0}, les droites et les plans vectoriels, l'espace entier.

Dans R3, l'ensemble des vecteurs qui vérifient une équation linéaire homogène u x + v y + w z = 0 forme un plan vectoriel P.

Généralisation dans Rn :

les éléments V = (x1x2, ..., xn) qui vérifient une équation homogène linéaire :

a1x1 + a2 x2 + ... + an xn = 0  (H)

forment un sous-espace vectoriel appelé hyperplan H de Rn.

Remarque : On verra plus tard la raison de ce nom d'hyperplan.

La vérification est facile et résulte du caractère homogène de l'équation.
Il suffit de voir que le vecteur nul vérifie cette équation, que si V et V' sont solutions, V + V' aussi et que le produit par un scalaire d'une solution est aussi une solution.

Equations de sous-espaces vectoriels

Dans R3, l'ensemble des vecteurs qui vérifient un système d'équations linéaires homogènes, (non proportionnelles) :

eq homogène1

est l'intersection de deux plans vectoriels P1 et P2, et P1 intersection P2 est une droite vectorielle.

Généralisation dans Rn : les éléments V = (x1x2x3, ... xn) qui vérifient un système de p équations homogènes linéaires :

eq homo2

forment un sous-espace vectoriel de Rn. On remarque que ce sous-espace est une intersection d'hyperplans H1 intersection H2 intersection ... intersection Hp. On peut donc définir des sous- espaces à l'aide d'équations formant un système linéaire homogène. Attention aux notations avec deux indices : le premier indice est le numéro de ligne, le deuxième est le numéro de " colonne ".

Sous-espaces engendrés dans R3

Des vecteurs peuvent engendrer des sous-espaces, droites et plans vectoriels.

Donnons nous un ensemble de vecteurs que nous désignons par A. Quels sont tous les cas possibles ?

Générateurs de sous-espaces dans Rn

Considérons une famille finie de vecteurs X1X2X3, ..., Xp. Si nous cherchons quel est l'espace engendré par ces éléments de Rn, nous devons imposer que cet espace E contienne tous les produits des Xi par des scalaires. De plus, si E contient deux éléments, E doit contenir leur somme et donc de proche en proche tous les éléments de type somme. Pour cela nous sommes amenés à introduire les combinaisons linéaires.

Notion de combinaison linéaire

Définition :

On appelle combinaison linéaire de p éléments X1X2, ..., Xp  Rn à coeficients réels l1, l2, ...,lp une somme l1 X1 + l2 X2 + ... +lp Xp.

Remarque :

Si on ne précise pas au départ un nombre fini de vecteurs, mais si on dit qu'on les prend dans un ensemble A, fini ou non, on appelle combinaison linéaire d'éléments de A une somme finie du type précédent où les X sont dans A. Une combinaison linéaire ne comporte donc qu'un nombre fini de termes non nuls.

Propriété :

La somme de deux combinaisons linéaires d'éléments de A est aussi une combinaison linéaire. Le produit d'une combinaison linéaire d'éléments de A est aussi une combinaison linéaire d'éléments de A.

Propriété :

F est un sous-espace vectoriel de Rn, toute combinaison linéaire d'éléments de F est dans F.

(C'est évident en appliquant les axiomes.)

Notation :

Si A est non vide, l'ensemble linA est formé des combinaisons linéaires d'éléments de A.

linA

Propriété :

Tout sous-espace vectoriel qui contient A contient linA.

linA est un sous-espace vectoriel

En effet, de façon évidente, il contient au moins un élément puisque A est non vide. Comme la somme de deux combinaisons linéaire d'éléments de A est aussi une combinaison linéaire, linA est stable par addition. Il est aussi stable par multiplication par les scalaires, puisque le produit d'une combinaison linéaire d'éléments de A est aussi une combinaison linéaire d'éléments de A.

Sous-espace vectoriel engendré par A

Parmi les sous-espaces qui contiennent A, linA est un sous-espace qui est contenu dans tous les autres. L'ensemble linA est le plus petit sous-espace qui contient l'ensemble A, c'est le sous-espace vectoriel engendré par A.

Famille génératrice

Nous allons maintenant nous intéresser aux familles qui engendrent l'espace entier.

Une famille X1, ..., Xp est une famille génératrice de Rn si tout élément X de Rn peut s'écrire comme combinaison linéaire des xi :/p>

somme2

Autrement dit, la famille X1, ..., Xp est génératrice de Rn, si

Rn = lin {X1, ..., Xp}.

Exemple :

Dans R3, trois vecteurs non coplanaires forment une famille génératrice.

Système générateur dans R3

Comment montrer que trois vecteurs V1 = (x1x2x3), V2 = (y1y2y3), V3 = (z1z2z3) dans R3, forment un système de générateurs ? Il faut que si on se donne un vecteur quelconque V = (abc), on puisse trouver trois nombres l, m, n tels que

V = lV1 + mV2 + nV3

C'est-à-dire que le système :

syst4

ait au moins une solution pour toutes valeurs prises par a, b, c.

Système générateur dans Rn

On se donne p vecteurs V1, ..., Vp pour chaque vecteurs >Vi on désigne ses composantes à l'aide de deux indices Vi = (v1iv2i, ..., vni) où le deuxième indice désigne le numéro du vecteur.

Définition :

Les p vecteurs V1V2V3, ..., Vp forment un système de générateurs de Rn, si pour toutes les valeurs prises par U = (u1, ..., un) élément de Rn, on peut trouver des l tels que

U = l1V1 + ... + lpVp

c'est-à-dire que le système en les inconnues l1, ..., lp ait au moins une solution :

syst5

Les p vecteurs W1W2W3, ..., Wp d'un sous-espace F forment un système de générateurs de F, si tout vecteur de F peut s'exprimer comme combinaison linéaire des Wi

Indépendance linéaire

Dans R3, si nous nous donnons trois vecteurs, V1, V2, V3, forment-ils un repère ? Oui s'ils sont non coplanaires, non dans les cas particuliers suivants :

Nous pouvons regrouper ces cas particuliers sous une forme unique :

il existe une relation dite de dépendance linéaire entre ces vecteurs qui prend la forme l1V1 + l2V2 + l3V3 = 0, avec des coefficients non tous nuls.

En effet, nous avons les relations suivantes :

Relation de dépendance linéaire

Supposons n vecteurs V1V2, ..., Vn. On peut distinguer deux cas :

Théorème :

Soit Rn un R-espace vectoriel et V1, ..., Vn des éléments de Rn. Les conditions suivantes sont équivalentes :

     Il existe une relation de dépendance linéaire entre ces éléments.
l1 V1 + l2 V2 + l3 V3 + . . . + ln Vn = 0, avec les li non tous nuls.

    Un des Vi s'exprime comme combinaison linéaire des autres.

Démonstration

La première condition a) implique la seconde b).

Supposons une relation l1V1 + ... + lnVn = 0 non triviale entre ces éléments.

L'un des coefficients au moins est non nul : supposons li  0 alors liest inversible :

demo1

Donc Vi s'exprime en fonction des autres éléments.

Réciproquement, si demo2, alors

demo3

est une relation non triviale entre ces vecteurs.

Vecteurs linéairement dépendants

Des vecteurs Vn, ..., Vnsont linéairement dépendants

s'ils possèdent une relation de dépendance linéaire, somme3(avec les li non tous nuls). On peut dire aussi qu'ils forment une famille liée.

Toute famille qui contient une famille liée est liée. Toute famille contenant 0 est liée.

Famille libre

Des vecteurs Vn, ..., Vn sont linéairement indépendants

s'ils ne possèdent pas de relation de dépendance (non triviale). La famille Vn, ..., Vn est dite famille de vecteurs linéairement indépendants, ou famille libre.

qq soit l1, l2, ..., ln  K,  (l1 V1 + l2 V2 + ...+ ln Vn = 0) implique (l1 = l2 = ... = ln = 0).

Toute sous-famille d'une famille libre est libre.

Vecteurs de R3

Soient trois vecteurs de R3, X = (x1x2x3), Y = (y1y2y3), Z = (z1z2z3).

Comment voir si ils sont ou non dépendants ?

On cherche si il existe trois scalaires non tous nuls l, m, n dans K tels que lX + mY + nZ = 0. Ce qui se traduit, composante par composante par le système :

syst6

On est amené à résoudre un système linéaire et homogène avec les inconnues l, m, n et voir si ce système admet ou non d'autres solutions que la solution (0, 0, 0).

Vecteurs de Rn

Soient p vecteurs V1, V2, ..., Vp. Comment déterminer s'ils sont ou non dépendants ? On désigne par vij les composantes du vecteur

Vj = (v1j, v2j, ..., vnj)

Ecrire une relation de dépendance linéaire entre les> Vj, c'est écrire

l1V1 + ... + lpVp = 0

c'est-à-dire le système linéaire et homogène en les li :

syst7

et voir s'il admet d'autres solutions que la solution (0, 0, ..., 0) pour les inconnues l1, ..., lp.

Base de Rn

Nous allons généraliser aux espaces Rn la notion de repère, qui s'appelle plutôt base de Rn.

Base :

Une famille (ei)i I est une base de Rn si elle est à la fois libre et génératrice.

Base canonique :

On considère les éléments e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e1 = (0, 1, 0, ..., 0), etc en = (0, 0, 0, ..., 1), de façon évidente, c'est une famille à la fois libre et génératrice.

On l'appelle base la canonique de Rn.

Si X = (x1, ..., xn), somme4.

Composantes d'un vecteur sur une base :

Si une famille e1, ..., en de vecteurs est une base de Rn alors tout vecteur X de Rn s'écrit de manière unique somme5 avec des coefficients li  K.

Existence des composantes d'un vecteur sur une base

L'existence des li résulte du caractère générateur de la famille e1, ..., en. Un vecteur X s'écrit somme6 puisque e1, ..., en est une famille génératrice.

Unicité des composantes d'un vecteur sur une base

Cette unicité résulte du caractère indépendant de la famille e1, ..., en. Si nous supposons une deuxième écriture somme7, alors somme8 est une relation de dépendance entre les ei, ..., en, supposés indépendants. Donc li - mi = 0 pour tout i, ce qui montre l'unicité des coefficients.

Définition :

ei, ..., en est une base de Rn alors tout X de Rn s'écrit de façon unique somme5 et les li sont appelés les composantes (ou les coordonnées) de X sur la base ei, ..., en.

Dans R3, tous les repères ont le même nombre d'éléments et on dit que la dimension de l'espace ordinaire est 3. Cette notion de généralise dans Rn sous la forme des résultats suivants.

Dimension de Rn

Dans l'espace Rn, toutes les bases ont le même nombre d'éléments. Rn est de dimension n puisqu'il possède une base de n éléments, la base canonique.

Dimension d'un sous-espace

Dans un sous-espace F de l'espace Rn, toutes les bases ont le même nombre d'éléments. Ce nombre s'appelle la dimension du sous-espace. La dimension d'un sous-espace de Rn est inférieure ou égale à n.

Nous admettrons provisoirement ces résultats, car ils sont démontrés dans le cours d'algèbre linéaire. Nous allons surtout développer une pratique sur les espaces Rn et leurs sous-espaces.

Intersection de sous-espaces vectoriels

F1 et F2 sont deux sous-espaces vectoriels de Rn, leur intersection F1 intersection F2 est aussi un sous-espace vectoriel de Rn.

Si (Fi)iI est une famille de sous-espaces vectoriels de Rn, leur intersection intersectioniI Fi est aussi un sous-espace vectoriel de Rn.

Attention, une réunion de sous-espaces d'un espace vectoriel n'est pas en général un sous-espace.

Somme de deux sous-espaces F et F'

Définition :

On appelle somme de deux sous-espaces F et F' de Rn et on note F + F' le sous-espace défini par :

F + F' = {y Rn | existex F, existex' F', y = x + x'}

Exemples dans R3 :

La somme de deux droites vectorielles non colinéaires est le plan vectoriel passant par ces deux droites. La somme d'une droite vectorielle et d'un plan est l'espace entier si ces deux plans sont sécants, le plan si la droite est contenue dans le plan.

La somme F + F' est un sous-espace vectoriel de Rn.

En effet, l'élément nul étant à la fois dans F et dans F', il est dans la somme (0 + 0 = 0).

F + F' est stable par addition car (x +x') + (y + y') = (x + y) + (x' + y').

F + F' est stable par multiplication par un scalaire l quelconque car
l(x + x') = lx + lx'. Si x est dans F alors lx aussi, et si x' est dans F' alors lx' aussi, par conséquent l(x + x') est dans F + F'.

Propriété

F + F' est le plus petit sous-espace qui contient à la fois F et F'.

En effet F inclusF + F' : si x  F on peut écrire x = x + 0 avec 0  F'. (De même F' inclus F + F'). Si H est un sous-espace qui contient à la fois F et F', il contient tous les éléments du type x + x' avec x  F et x'  F', et donc il contient F + F'.

Théorème

Le sous-espace F + F' est le plus petit sous-espace qui contient à la fois F et F'.

Méthodes de détermination d'un sous-espace

On désigne par E un des espaces R4. Des sous-espaces vectoriels de cet espace vectoriel E peuvent être déterminés de bien des façons, mais il y en a deux qui sont essentielles :

  1. déterminer un sous-espace par une base de ce sous-espace (par exemple "soit F le sous-espace de R3 ayant pour base B = {(0, 1, 1), (1, 0, - 1)} ..."),

  2. déterminer un sous-espace par un ensemble d'équations (si possible indépendantes) dont les inconnues sont les coordonnées des vecteurs par rapport à une base donnée de E (par exemple "soit G le sous-espace de R4 déterminé par les équations
    x - 2y + z + 3t = 0 et 2x + z + t = 0..."). Comme variante de la première façon, on peut déterminer le sous-espace par un système générateur.

Méthodes adaptées aux problèmes

Suivant les questions posées à propos d'un ou plusieurs sous-espaces, l'une des deux descriptions peut être plus commode que l'autre.

Appartenance d'un vecteur à un sous-espace

Par exemple pour savoir si un vecteur, donné par ses coordonnées dans une base de E, appartient au sous-espace considéré, il est plus commode de connaître des équations caractérisant ce sous-espace (suivant la même base !) que de connaître une base de ce sous-espace (sauf si par miracle le vecteur faisait partie de ladite base !).

Somme de deux-sous-espaces

Pour décrire la somme de deux sous-espaces F et G de E, il est plus commode de connaître une base de chacun : la réunion des deux bases est un système générateur de F + G et il suit d'en extraire un système libre engendrant le même sous-espace.

Intersection de deux sous-espaces

Par contre pour décrire F inclus G, il est plus commode d'utiliser des équations... et pour savoir si F inclus G, il est pratique d'avoir une base (ou au moins un système générateur) de F et des équations de G...

On l'aura compris, il est donc important de savoir passer de 1. à 2. dans un sens ou dans l'autre. Cette situation a déjà été rencontrée et travaillée à propos des droites et des plans dans l'espace où les méthodes de détermination dépendaient du problème traité, discussion que nous avions vue sous la forme du passage d'une représentation implicite à une représentation paramétrique et vice-versa.

Retour à l'accueil