Faisceaux de plans

Considérons deux plans P1 et P2, d’équations respectives

u1 x + v1 y + w1z = d1 et u2 x + v2 y + w2z = d2,

sécants suivant une droite D, et cherchons les plans P qui contiennent D.

Recherche des plans :

Si a et b sont deux réels non tous deux nuls, l’équation

(au1 + bu2)x + (av1 + bv2)y + (aw1 + bw2)z = ad1 + bd2

est l’équation d’un plan (les coefficients de x, y, z ne sont pas tous nuls car les vecteurs (u1v1w1) et (u2v2w2) ne sont pas proportionnels) ; de plus, ce plan contient tous les points communs à P1 et P2, donc contient  intersection P2 = D.

Réciproquement, soit P un plan qui contient D. Prenons un point A(a, b, c) dans P\D. Les nombres u1a + v1b + w1c et u2a + v2b + w2c ne sont pas tous deux nuls, car A n'appartient pas P1 intersection P2, donc l’équation à deux inconnues a et b :

a(u1a + v1b + w1c - d1) + b(u2a + v2b + w2c - d2) = 0

admet une solution autre que (0, 0).

Alors, (au1 + bu2)x + (av1 + bv2)y + (aw1 + bw2)z = ad1 + bd2 est l’équation d’un plan qui contient D et A ; ce plan est donc P.

Définition :

Soit P1 et P2 deux plans distincts, d’équations respectives (E1) et (E2).
On appelle faisceau de plans engendré par P1 et P2 l’ensemble des plans qui ont une équation de la forme a(E1) + b(E2).

Si P1 et P2 sont sécants, ce faisceau est l’ensemble des plans qui contient la droite P1 intersection P2.

Si les plans P1 et P2 sont parallèles, le faisceau est constitué des plans parallèles à P1 (et à P2).

Dans les deux cas, P1 et P2 appartiennent bien entendu au faisceau.

Question : Comment pourrait-on définir des faisceaux de droites dans le plan rapporté à un repère (orthonormé) (O, ijk) ? Quelles sortes de faisceaux de droites peut-on distinguer ?

Perpendiculaire commune à deux droites

On donne les deux droites :

D1 et D2

On cherche une droite D qui coupe D1 et D2 à angle droit. Pour cela, trouver un vecteur V1 directeur deD1, et un vecteur V2 directeur de D2. En déduire un vecteur Vorthogonal à la fois à D1 et à D2 (c’est donc un vecteur directeur de la droite D cherchée). Trouver alors l’équation implicite d’un plan P1 contenant D1 et parallèle à V, et celle d’un plan P2 contenant D2 et parallèle à V. Trouver une droite D solution.

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