Systèmes linéaires à 3 équations et 3 inconnues

Introduction

Exemples de problèmes du plan ou de l’espace conduisant à résoudre des systèmes linéaires.

Dans le plan :

Dans l’espace

Résolution de ces systèmes

Le système S

syst8

représente l’intersection de trois plans P, P', P".

La solution de ce système par Gauss conduit aux cas suivants :

Cas r = 3

La solution de ce système par Gauss conduit au système :

syst9

Solution unique. Les trois plans se coupent en un point.

Le nombre r d’équations restantes après application de la méthode du pivot est égal à 3 et s’appelle le rang.

Cas r = 2

La solution de ce système par Gauss conduit au système :

syst10

On a ici supposé u  0 et v1  0 (éventuellement en faisant une permutation de x, y, z).

Géométriquement le premier plan P n’a pas changé ; le second a été remplacé par un plan du faisceau défini par P et P'. Au cours du premier pivotage, le troisième plan a été remplacé par un plan P" parallèle ou confondu avec P'. Cela signifie que les intersections de P et P', et de P avec P" sont parallèles ou confondues. Il y a donc deux cas :

syst11

Soit :

syst12

Le nombre r d’équations restantes après application de la méthode du pivot, le rang, est égal à 2. Il y a une condition de possibilité.

Cas r = 1

Alors le système devient :

syst13

Donc les plans P, P' et P" sont parallèles. Les conditions de possibilité consistent à écrire que P et P', P et P" sont confondus.

syst14

Le nombre r d’équations restantes après application de la méthode du pivot, le rang, est égal à 1. Il y a deux conditions de possibilité.

Bilan

Nous avons vu sur cet exemple de l’intersection de trois plans que le résultat de la résolution du système était lié à la situation géométrique et non aux calculs particuliers que nous avions faits.

L’existence de conditions de possibilités est liée à l’existence ou non de points dans l’intersection.

Le nombre r d’équations restantes après application de la méthode du pivot est lié à la nature de l’intersection : point, droite ou plan.

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