Systèmes linéaires

Écriture d’un système

Système linéaire S à m équations et n inconnues :

systlin

où tous les coefficients aij sont dans R, ainsi que les b1, ..., bm appelés seconds membres de ce système. Les x1, ..., xn sont les inconnues.

Remarque : Il est important de se familiariser avec l’usage des doubles indices, difficiles à appréhender au début mais si pratiques dès qu’on les a compris. Le but est simple. Pour écrire les coordonnées d’un vecteur V, il est plus clair d’écrire ses coordonnées sous la forme (v1v2v3) que sous la forme (abc) puisque la première écriture nous renseigne immédiatement, de façon visuelle sur le vecteur et le numéro de la composante. Ici, pour renseigner les coefficients nous donnons le numéro de ligne (ou d’équation) puis son ordre, c’est-à-dire l’inconnue dont il est le coefficient.

Système homogène associé

Le système homogène associé SH

systhomo

a le même premier membre que le système S, mais tous les coefficients du second membre sont nuls.

Solution d’un système

Une solution de S, (respectivement SH) est un point, (respectivement vecteur) de Rn dont les coordonnées vérifient le système S, (respectivement SH ).

Solution générale d’un système

La solution générale de S, (respectivement SH) est une expression, dépendant de constantes arbitraires (les paramètres) permettant d’obtenir toutes les solutions de ce système.

Méthode de résolution de Gauss

Deux systèmes sont équivalents s’ils ont les mêmes solutions.

Certaines transformations changent un système en un système équivalent, en particulier les transformations suivantes :

  • changer l’ordre des équations ;
  • changer l’ordre des inconnues (dans toutes les équations à la fois) ;
  • multiplier une équation par un nombre non nul ;
  • conserver toutes les lignes sauf une et ajouter à cette dernière ligne une combinaison des autres.

Il est facile de vérifier que ces transformations sont réversibles et donc qu’elles transforment un système en un système équivalent.

La méthode de Gauss est une méthode qui applique systématiquement les transformations précédentes pour transformer le système en un système "triangulaire".

Nous ne la détaillons pas ici, car nous la supposons, connue et appliquée systématiquement par les étudiants.

Lien entre les résolutions des systèmes associés

Nous pouvons remarquer que nous pouvons faire exactement le même calcul sur les premiers membres des équations du système S et du système homogène associé >SH.

Le choix des pivots et l’entier r sont les mêmes pour les deux systèmes S et SH.

Objectif :

Montrer que l’entier r ne dépend pas des choix successifs que nous avons faits pour les pivots.

Lien entre les solutions des systèmes S et SH

On peut remarquer que si (x1, ..., xn) et (x'1, ..., x'n) sont deux solutions du système S alors (x1 - x'1, ..., xn - x'n) est solution du système SH. Toutes les solutions du système S sont déterminées si on connaît une solution du système S et si on connaît toutes les solutions du système SH.

La solution générale du système s’obtient en ajoutant à une solution particulière du système S la solution générale du système SH.

Soient les deux systèmes associés suivants S et SH mis sous la forme suivante après application de la méthode du pivot :

S et Sh

Solutions d’un système homogène

Une solution de SH est un vecteur de Rn dont les coordonnées vérifient le système SH.

Les solutions de système homogène SH forment un sous-espace vectoriel de Rn.

En effet, le système SH possède toujours au moins une solution, la solution nulle (0, ..., 0) ; et toute combinaison linéaire des solutions du système homogène est une solution de ce système.

Lorsqu’on choisit une base de l’espace des solutions composée de q solutions (q = dim SH) du système SH, une solution quelconque s’exprime sur cette base à l’aide de q constantes qui sont les coordonnées de cette solution sur la base.

La solution générale d’un système homogène est l’expression d’une solution de ce système à l’aide d’une base de solutions. Elle s’exprime à l’aide de paramètres, en nombre égal à la dimension de cet espace.

Expression des solutions d’un système homogène

Supposons donc le système SH équivalent au système :

systhomo1

avec les pivots successifs non nuls : a11  0, a22  0, ..., arr  0.

On appelle x1, ..., xr les inconnues principales et xr+1, ..., xn les inconnues non principales.

La résolution conduit à exprimer x1, ..., xr comme des combinaisons linéaires de xr+1, ..., xn.

systhomo2

Base de solutions d’un système linéaire homogène

Les solutions (x1, ..., xn) de SH s’écrivent sous la forme :

X = xr+1 Ar+1 + xr+2 Ar+2 + ... + xnAn

solution de Sh

Rang d’un système linéaire homogène

  1. Ar+1, ..., An sont des solutions du système SH.

  2. toute solution de SH s’exprime comme combinaison linéaire de Ar+1, ..., An.
    Cette famille de solutions est donc une famille génératrice du sous-espace de Rn engendré par les solutions de SH.

  3. la famille Ar+1, ..., An est une famille indépendante ; ceci est évident si on examine les n - r dernières coordonnées.

  4. la famille Ar+1, ..., An forme donc une base de l’espace des solutions. Cet espace est de dimension n - r.

  5. Conclusion : le nombre r est donc indépendant du choix des pivots successifs. Si r = n le système a pour seule solution la solution (0, 0, ..., 0).

Exemple 1 :

Supposons donné un système SH de 4 équations à 5 inconnues dont la résolution par Gauss conduise à :

syst15

On a choisi x4 et x5 comme inconnues non principales et calculé x1, x2, x3 en fonction de x4 et x5.

Le rang du système est 3 : r = 3

On écrit les solutions :

solution sh

A et B représentent une base de l’espace vectoriel des solutions de SH.

Exemple 2 :

Supposons donné un système de 5 équations à 4 inconnues dont la résolution conduise à :

x4 est l’inconnue non principale ;
x1, x2, x3 sont calculées en fonction de x4.

Le rang est 3.

solution sh

A est une base de l’espace vectoriel des solutions de SH qui est de dimension 1.

Étude du système S

Le choix des mêmes pivots que pour le système SH conduit au système :

syst16

Cas possibles suivants les valeurs de r, m, et n :

Cas r < m et r < n,
Cas r = m et r < n,
Cas r < m et r = n,
Cas r = m et r = n.

Cas r < m et r < n

m - r conditions de possibilité : les m - r dernières équations.

Cas r = m et r < n

Pas de condition de possibilité. La résolution conduit à :

x1

=

d1

+

b1,r+1 xr+1

+

...

+

b1,nxn

x2

=

d2

+

b2,r+1 xr+1

+

...

+

b2,nxn

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

xr

=

dr

+

br,r xr+1

+

...

+

br,nxn

Écriture des solutions du système S

systhomo3

Solution particulière du système S

Les di sont des combinaisons linéaires de b1, ..., br.

syst17 est une solution particulière du système S.

La solution générale du système S s’obtient en ajoutant à la solution particulière D du système S la solution générale du système SH.

Cas r = n et r > m

m - r conditions de possibilité

Cas r = n = m

Cas de Cramer : Pas de conditions de possibilité. Le système S admet une solution unique.

Bilan de ces discussions :

r = m = n : le système est un système de Cramer qui possède une solution unique.

r < m : il y a m - r conditions de possibilités.

r < n : il y a n - r inconnues non principales. La dimension de l’espace des solutions du système SH est n - r.

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