Présentation du module
Le calcul des aires et des volumes est un des buts du calcul intégral, il est aussi à la base de sa découverte. Les Grecs ( Eudoxe, Archimède) aux \(\displaystyle{4^\textrm{ème}}\) et \(\displaystyle{5^\textrm{ème}}\) siècles avant J.C. calculaient l'aire d'un segment de parabole c'est à dire \(\displaystyle{\{(x,y)\in R^2,0\leq x\leq1,0\leq y\leq x^2\}}\)
ou le volume d'une pyramide au moyen de sommes dont chacun des termes tend vers 0 tandis que leur nombre augmente indéfiniment.
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Avant le début du calcul intégral, dû à Newton et Leibniz ( fin \(\displaystyle{17^\textrm{ième}}\), début du \(18^\textrm{ième}\) siècle), Pascal avait calculé la longueur de l'arche de la cycloïde et Wallis, à partir d'intégrales calculées de manière très empirique, avait donné une expression de p sous forme de produit infini ( une version moderne de ce calcul est donnée en application de l'intégration par parties).
Application de l'intégration par parties : Intégrales de Wallis
Ces célèbres intégrales, qui permettent, on le verra dans le complément, le calcul d'une valeur approchée de \(\pi\), sont définies pour \(n\) entier positif ou nul par :
\(\displaystyle{I_n=\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\sin^ntdt}\)
Le principe de la méthode est simple : on écrit, pour \(n\geq2\;\sin^nt\) sous la forme \(\sin^{n-1}t \sin t\) et on pose :
\(f'(t)=\sin t\textrm{ et }g(t)=\sin^{n-1}t\textrm{ d'où }f(t)=-\cos t\textrm{ et }g'(t)=(n-1)\cos t\sin^{n-2}t\),
cela conduira, en intégrant par parties, à avoir au second membre à intégrer : \(\cos^2t\sin^{n-2}t\) or , comme cela est bien connu,\(\cos^2t=1-\sin^2t\) , d'où une relation de récurrence.
Il vient donc :
\(\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\sin^ntdt=[-\cos t\sin^{n-1}t]_0^{\tfrac{\pi}{2}}+(n-1)\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^2t\sin^{n-2}tdt}\)
Puisque\( \displaystyle{\cos^2t=1-\sin^ntdt}\) et compte tenu que le terme tout intégré est nul, on obtient :
\(\displaystyle{I_n=(n-1)(I_{n-2}-I_n)}\), soit
\(\displaystyle{I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}}\)
On a une récurrence de \(2\) en \(2\), d'où des expressions différentes pour \(n\) pair ou \(n\) impair.
Puisque \(\displaystyle{I_0=\frac{\pi}{2}\textrm{ et }I_{2p}=\frac{2p-1}{2p}I_{2p-2}}\) , on a :
\(\displaystyle{I_{2p}=\frac{1.3.5....(2p-1)}{2.4.6......2p}\frac{\pi}{2}}\)
Avec , \(\displaystyle{I_1=\textrm{ et }I_{2p+1}=\frac{2p}{2p+1}I_{2p-1}}\),on a :
\(\displaystyle{I_{2p+1}=\frac{2.4.6....2p}{1.3.5....(2p+1)}}\) .
Dans ces divers calculs antérieurs à toute théorie de l'intégration, on peut schématiser le processus suivi en trois étapes :
Découper
Encadrer
Additionner
Ce module comporte quatre parties :
Intégrale définie (ou intégrale de Riemann)
On suit dans cette partie les étapes annoncées : découper, encadrer, additionner. Le but est, étant donné :
- une fonction\( f\) réelle définie sur un intervalle \(I\) de \(R\) et satisfaisant à certaines conditions,
- deux points \(a\) et \(b\) de\( I\)
de définir le symbole
\(\displaystyle{\int_a^bf(t)dt}\)
intégrale définie de \(f\) entre \(a\) et \(b\).
L'intégrale définie \(\displaystyle{\int_a^bf(t)dt}\) est un réel lié à la fonction\( f\) et à l'intervalle \([a,b]\); nous distinguerons les propriétés liées à l'intervalle et celles concernant la fonction.
Cette partie se termine par la démonstration du théorème fondamental liant intégrale définie et primitive.
Calcul intégral : méthodes générales
La partie intitulée Méthodes générales est consacrée à l'intégration par parties et au changement de variables.
Calcul pratique d'intégrales
Dans la partie calcul pratique, on applique les méthodes générales au calcul de certaines intégrales ou primitives.
Approximations numériques d'une intégrale
Dans la partie évaluation numérique des intégrales, on étudie des méthodes classiques ( rectangles, trapèzes....) qui permettent de donner une valeur numérique approchée d'une intégrale même si on ne sait pas déterminer la valeur exacte.
Bilan
Il existe plusieurs définitions de l'intégrale, citons les deux le plus fréquemment utilisées : intégrale de Riemann (la plus élémentaire, celle qu'on étudie ici), et intégrale de Lebesgue. Ce qui les distingue c'est l'ensemble des fonctions intégrables ; cet ensemble contient toujours celui des fonctions continues sur \([a,b]\), le réel \(\displaystyle{\int_a^bf(t)dt}\)est alors le même quelle que soit la définition choisie pour l'intégrale.