Mathématiques
Présentation du module

Le calcul des aires et des volumes est un des buts du calcul intégral, il est aussi à la base de sa découverte. Les Grecs ( Eudoxe, Archimède) aux et siècles avant J.C. calculaient l'aire d'un segment de parabole c'est à dire

ou le volume d'une pyramide au moyen de sommes dont chacun des termes tend vers 0 tandis que leur nombre augmente indéfiniment.

Cliquez sur le bouton pour lancer les applettes qui mettent en oeuvre de façon interactive la démarche historique.

Avant le début du calcul intégral, dû à Newton et Leibniz ( fin , début du siècle), Pascal avait calculé la longueur de l'arche de la cycloïde et Wallis, à partir d'intégrales calculées de manière très empirique, avait donné une expression de p sous forme de produit infini ( une version moderne de ce calcul est donnée en application de l'intégration par parties).

Application de l'intégration par parties : Intégrales de Wallis

Ces célèbres intégrales, qui permettent, on le verra dans le complément, le calcul d'une valeur approchée de , sont définies pour entier positif ou nul par :

Le principe de la méthode est simple : on écrit, pour sous la forme et on pose :

,

cela conduira, en intégrant par parties, à avoir au second membre à intégrer : or , comme cela est bien connu, , d'où une relation de récurrence.

Il vient donc :

Puisque et compte tenu que le terme tout intégré est nul, on obtient :

, soit

On a une récurrence de en , d'où des expressions différentes pour pair ou impair.

Puisque , on a :

Avec , ,on a :

.

Dans ces divers calculs antérieurs à toute théorie de l'intégration, on peut schématiser le processus suivi en trois étapes :

  • Découper

  • Encadrer

  • Additionner

Ce module comporte quatre parties :

Intégrale définie (ou intégrale de Riemann)
Calcul intégral : méthodes générales
Calcul pratique d'intégrales
Approximations numériques d'une intégrale

Il existe plusieurs définitions de l'intégrale, citons les deux le plus fréquemment utilisées : intégrale de Riemann (la plus élémentaire, celle qu'on étudie ici), et intégrale de Lebesgue. Ce qui les distingue c'est l'ensemble des fonctions intégrables ; cet ensemble contient toujours celui des fonctions continues sur , le réel est alors le même quelle que soit la définition choisie pour l'intégrale.

Légende :
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