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Primitive et intégrale définie
Rappel

On rappelle les propriétés suivantes :

Si est une application d'un intervalle dans

  • une primitive de est une fonction dérivable telle que ,

  • les fonctions telles que sont les fonctions constantes,

  • si et sont des primitives de , elles diffèrent d'une constante.

Théorème

Soit une fonction définie sur un intervalle de , et deux points de .

Si est intégrable sur l'intervalle , alors la fonction

est continue sur l'intervalle .

Si de plus est continue sur alors est une primitive de sur .

Preuve

la démonstration repose sur le théorème de la moyenne exprimé entre deux valeurs voisines.

Soit on a :

.

Une fonction intégrable étant bornée, on note :

si , et

si , et

D'après l'inégalité de la moyenne on a :

si

si

et dans tous les cas :

.

Si , on a et d'où :

et est continue sur .

Si est continue sur alors atteint son maximum et son minimum sur l'intervalle .

Quand tend vers on a

et compte tenu de la continuité de :

d'où

Théorème

Si est une fonction continue sur un intervalle et si est une primitive de on a :

Preuve

Les fonctions et sont deux primitives de , il existe donc une constante telle que

.

Pour on obtient , et pour on obtient le résultat .

Remarque : sur les notations

Le symbole , intégrale définie de la fonction sur l'intervalle représente un nombre, la variable

qui intervient est une variable muette, on peut la noter peu importe.

En revanche nous désignerons par appelée intégrale indéfinie une primitive quelconque de sur ; il s'agit donc d'une fonction de .

Remarque : sur l'expression d'une primitive

Exprimer à l'aide des fonctions "usuelles", c'est-à-dire des fonctions polynomiales, rationnelles, algébriques, circulaires, exponentielle, logarithme, puissances et des fonctions obtenues par opérations algébriques et composition à partir de ces fonctions, n'est pas possible pour toutes les fonctions continues comme par exemple, les fonctions :

Pour ces fonctions il arrive qu'on sache calculer exactement pour des valeurs particulières de et , mais le problème général qui se pose est celui du calcul de la valeur approchée d'une intégrale.

Remarque : sur la fonction logarithmique népérien

Au lycée, alors qu'on ne connaît que les fonctions algébriques ou circulaires on introduit la fonction logarithme népérien comme la primitive de la fonction qui s'annule pour .

Légende :
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