Primitive et intégrale définie

Rappel

On rappelle les propriétés suivantes :

Si \(f\) est une application d'un intervalle \(I\) dans \(\mathbf R\)

  • une primitive de \(f\) est une fonction dérivable \(F\) telle que \(F' = f\),

  • les fonctions \(F\) telles que \(F' = 0\) sont les fonctions constantes,

  • si \(F_1\) et \(F_2\) sont des primitives de \(f\) , elles diffèrent d'une constante.

Théorème

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbf R\), \(a\) et \(b\) deux points de \(I (a < b)\).

Si \(f\) est intégrable sur l'intervalle \([a , b]\), alors la fonction

\(\displaystyle{F:[a,b]\to\mathbf R\quad x\to\int_a^xf(t)dt}\)

est continue sur l'intervalle \([a , b]\).

Si de plus \(f\) est continue sur \([a , b]\) alors \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a , b]\).

Preuve

la démonstration repose sur le théorème de la moyenne exprimé entre deux valeurs voisines.

Soit \(x_0\in[a,b],h\in\mathbf R\textrm{ tel que }x_0+h\in[a,b]\) on a :

\(F(x_0+h)-F(x_0)=\displaystyle{\int_a^{x_0+h}f(t)dt-\int_a^{x_0}f(t)dt=\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)dt}\).

Une fonction intégrable étant bornée, on note :

si \(h>0\), \(M_k=\displaystyle{\sup_{x\in [x_0,x_0+h]}f(x)}\) et \(m_k=\displaystyle{\inf_{x\in [x_0,x_0+h]}f(x)}\)

si \(h<0\), \(M_k=\displaystyle{\sup_{x\in [x_0+h,x_0]}f(x)}\) et \(m_k=\displaystyle{\inf_{x\in [x_0+h,x_0]}f(x)}\)

D'après l'inégalité de la moyenne on a :

si \(\displaystyle{h>0\quad hm_k\leq F(x_0+h)-F(x_0)\leq hM_k}\)

si \(\displaystyle{h<0\quad(-h)m_k\leq F(x_0)-F(x_0+h)\leq(-h)M_k}\)

et dans tous les cas :

\(\displaystyle{m_h\leq\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}\leq M_h}\).

Si \(M=\displaystyle{\sup_{x\in [a,b]}f(x)}\) , \(m=\displaystyle{\inf_{x\in [a,b]}f(x)}\) on a \(m_k\geq m\) et \(M_k\leq M\) d'où :

\(\displaystyle{|F(x_0+h)-F(x_0)|\leq Kh\textrm{ où }K=\textrm{max}(|M|,|m|)}\)

et \(F\) est continue sur \([a , b]\).

Si \(f\) est continue sur \(I\) alors \(f\) atteint son maximum et son minimum sur l'intervalle \(\displaystyle{[x_0,x_0+h](\textrm{resp}[x_0+h,x_0]\textrm{ on a }M_h=f(x_{M_h})\textrm{ et }m_h=f(x_{m_h})}\).

Quand \(h\) tend vers \(0\) on a

\(\displaystyle{\lim_{h\to 0}x_{m_h}=x_0,\lim_{h\to 0}x_{M_h}=x_0}\)et compte tenu de la continuité de \(f\):

\(\displaystyle{\lim_{h\to 0}f(x_{m_h})=\lim_{h\to 0}f(x_{M_h})=f(x_0)}\) d'où

\(\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=f(x_0),\textrm{ et }F'(x_0)=f(x_0)}\)

Théorème

Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\) et si \(F\) est une primitive de \(f\) on a :

\(\int_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)\)

Preuve

Les fonctions \(F\) et \(x\mapsto\displaystyle{\int_a^x f(t)dt}\)sont deux primitives de \(f\) , il existe donc une constante \(k\) telle que

\(\forall x\in [a,b], F(x)-k=\displaystyle{\int_a^x f(t)dt}\).

Pour \(x = a\) on obtient \(k = F (a)\), et pour \(x = b\) on obtient le résultat .\(\displaystyle{\int_a^b f(t)dt}=F(b)-F(a)\)

Remarquesur les notations

Le symbole \(\int_a^bf(t)dt\), intégrale définie de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([a , b]\) représente un nombre, la variable

\(t\) qui intervient est une variable muette, on peut la noter \(u, \theta ,...\) peu importe.

En revanche nous désignerons par\(\displaystyle{\int f(x)dx}\) appelée intégrale indéfinie une primitive quelconque de \(f\) sur \(I\); il s'agit donc d'une fonction de \(x\).

Remarquesur l'expression d'une primitive

Exprimer \(\displaystyle{\int f(x)dx}\) à l'aide des fonctions "usuelles", c'est-à-dire des fonctions polynomiales, rationnelles, algébriques, circulaires, exponentielle, logarithme, puissances et des fonctions obtenues par opérations algébriques et composition à partir de ces fonctions, n'est pas possible pour toutes les fonctions continues comme par exemple, les fonctions :

\(\displaystyle{x\mapsto\textrm{e}^{x^1},x\mapsto\frac{\textrm{e}^x}{x},x\mapsto\frac{\sin x}{x}}\)

Pour ces fonctions il arrive qu'on sache calculer exactement \(\int_a^bf(t)dt\) pour des valeurs particulières de \(a\) et \(b\), mais le problème général qui se pose est celui du calcul de la valeur approchée d'une intégrale.

Remarquesur la fonction logarithmique népérien

Au lycée, alors qu'on ne connaît que les fonctions algébriques ou circulaires on introduit la fonction logarithme népérien \(\ln\) comme la primitive de la fonction\(\displaystyle{x\mapsto\frac{1}{x}}\) qui s'annule pour \(x = 1\).