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Niveau 3 (1 problème)
Le test comporte 1 questions :
Problème
La durée indicative du test est de 40 minutes.
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Problème

On considère la fonction définie par :

  1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction . Montrer que, pour non nul et que est prolongeable en une fonction continue en .

  2. Montrer que la fonction ainsi prolongée est de classe sur et étudier son sens de variation.

  3. Etudier quand tend vers .

  4. Tracer approximativement le graphe de .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Problème
  1. La fonction est définie pour tout car alors n'appartient pas à l'intervalle d'intégration.

    [1 point]

    Le changement de variable conduit aux égalités :

    ,

    la fonction est donc impaire.

    [1.5 point]

    Par ailleurs on a, pour tout réel positif, d'où .

    On prolonge par continuité en en posant .

    [1.5 point]

  2. La fonction est continue sur et , la fonction est donc de classe sur et .

    On a, pour tout réel non nul :

    La fonction est donc croissante sur .

    [2 points]

    Dérivabilité en 0 :

    On étudie quand tend vers

    soit, pour , d’après la formule de la moyenne : avec ,

    or d'où

    et ,

    la fonction est dérivable en et .

    [4 points]

    Or, quand tend vers , on a : d'où .

    La fonction est continue en et est de classe sur .

    [1 point]

  3. Étude au voisinage de  :

    On a, pour tout réel positif, ,

    d'où

    soit

    en divisant les différents termes par on voit que .

    [3 points]

    On étudie alors

    D’où .

    [2 points]

    On a donc : .

  4. le graphe de la fonction a donc comme asymptote la droite d'équation et est en dessous de son asymptote pour .

[3 points]

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Bilan
Nombre de questions :1
Score obtenu :/18
Seuil critique :12
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :40 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
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