Mathématiques
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Problème de synthèse
Le test comporte 6 questions :
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
La durée indicative du test est de 60 minutes.
Commencer
Exercice 1

On considère, pour réel, , l’intégrale .

  1. Étudier, pour réel, , le signe de .

  2. Calculer .

Exercice 2

Soit la fonction .

  1. Déterminer l’ensemble de définition de , montrer que est prolongeable en une fonction continue en .

  2. Étudier la variation de et tracer son graphe. On étudiera, en particulier, le comportement de quand tend vers et tend vers .

  3. Calculer le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de de ; en déduire la position du graphe par rapport à la tangente en ce point.

Exercice 3

Déduire de l'étude précédente qu'on a :

.

Exercice 4

Soit un réel strictement positif ; on considère l’intégrale : .

Calculer à l’aide de intégrations par parties successives.

Exercice 5

On pose ;

montrer que la suite est croissante.

Exercice 6

Soit un entier fixé , montrer que la suite est convergente et calculer sa limite. En déduire que la suite est convergente pour tout réel .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Exercice 1
  1. On a :

    d'où

    d'où

    [2 points]

  2. On , pour  :

    [2 points]

0
1
2
3
4
Exercice 2
  1. On a . Par ailleurs , on pose et ainsi la fonction est prolongée en une fonction continue sur .

    [2 points]

  2. Le calcul de la dérivée de donne, pour ,

    .

    D'après l'exercice 1 on a donc

    d'où .

    La fonction est donc décroissante sur et

    • quand d'où

    • quand .

    [7 points]

  3. Au voisinage de on a :

    avec ,

    d'où .

    Ce développement limité au voisinage de montre que la fonction est dérivable en , que et que le graphe de au point a donc pour tangente la droite d'équation , le graphe est, au voisinage de ce point, en dessous de sa tangente.

    [2 points]

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Exercice 3

Pour appartenant à l’intervalle ]0,n[, on a alors : .

La décroissance de la fonction sur entraîne :

soit

La fonction exponentielle étant croissante , on en déduit l’inégalité demandée.

[2 points]

0
1
2
Exercice 4

Pour on obtient, en intégrant par parties,

d’où .

D'où : .

[4 points]

0
1
2
3
4
Exercice 5

Le changement de variable conduit au calcul suivant

,

d'où

d’après les inégalités démontrées dans l'exercice 3. On a donc .

Pour fixé, la suite est donc croissante.

[3 points]

0
1
2
3
Exercice 6

L’entier étant fixé, on a : ,

d’où .

Le dénominateur est un produit de facteurs ( fixe), qui ont pour limite . On a donc

Pour un réel quelconque , la suite étant croissante il suffit de montrer qu’elle est majorée pour en déduire qu’elle est convergente. On va étudier la fonction ou plutôt , et montrer que, pour fixé assez grand, elle est croissante. On aura alors en notant la partie entière de définie par :

La fonction . a pour dérivée

Compte tenu du fait qu’on a :

il suffit de montrer que cette dernière expression est positive pour assez grand.

On a , d’où

.

Les inégalités et entraînent

.

L’expression est une somme de termes positifs. On a donc

.

Donc : .

Ainsi et

et la suite croissante, majorée, est convergente.

[6 points]

0
1
2
3
4
5
6
Bilan
Nombre de questions :6
Score obtenu :/30
Seuil critique :21
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :60 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
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