3. Étude de quand tend vers

On a, d'après le théorème de la moyenne,

 Étude de quand tend vers

On pose , l'expression de devient :

 Quand tend vers , on a, à partir du développement limité de la fonction au voisinage de :

On en déduit

avec

 D'où

En prolongeant par la valeur au point la fonction ainsi obtenue est continue sur

Étude de quand tend vers .

On a, d'après le théorème de la moyenne,

, d'où

 On peut préciser, à partir de l'inégalité précédente :

,

, le graphe de admet une branche parabolique dans la direction de l'axe y.

On a alors les informations nécessaires pour construire le graphe. On peut préciser en déterminant la pente de la tangente au point d'abscisse1.On a :

la tangente au point d'abscisse a pour pente .