1. On développe le polynôme en utilisant d'une part la formule du binôme et d'autre part la formule de Taylor en .

Le développement du binôme conduit à l'expression de :

et celui de Taylor en :

 Les dérivées sont nulles pour et bien évidemment pour ; l'identification des termes en conduit aux égalités :

 or est entier et tous les autres termes du produit le sont également, le nombre

est donc entier.

Pour , posons , le polynôme ainsi défini s'écrit :

On montre que les dérivées de en sont des entiers comme pour , or ce sont les dérivées de en , car le développement de Taylor de en , est celui de en . Les dérivées

sont des entiers.