Méthodes générales de calcul d'intégrales

On considère une fonction \(f\) continue sur un intervalle \(I\) de \(\mathbf R\).

• Étant donné deux points \(a\) et \(b\) de \(I\), le symbole\(\int_a^bf(t)dt\), intégrale définie de \(f\) sur l'intervalle \([a , b]\) représente un nombre, la variable \(t\)qui intervient est une variable muette, on peut la noter \(u, \theta ,\Box ...\) peu importe.

• En revanche nous désignons par

  \(\int f(x)dx\)

  intégrale indéfinie, une primitive quelconque de \(f\) sur \(I\) , c'est une fonction de la variable \(x\) , définie à une constante près et si \(F\) est une primitive déterminée de \(f\), on a

  \(\displaystyle{\int f(x)dx=F(x)+k,k\in\mathbf R}\).

• La primitive de \(f\) qui s'annule en \(a\) est la fonction : \(\displaystyle{x\to\int_a^xf(t)dt}\).

  Nous verrons, dans la suite que le calcul des intégrales indéfinies doit être abordé avec beaucoup de précautions. Il est souvent préférable de calculer une primitive particulière \(\displaystyle{x\to\int_a^xf(t)dt,\alpha\in I}\) et d'ajouter une constante ; c'est le cas en particulier quand on effectue deux intégrations successives, ainsi pour trouver toutes les fonctions qui vérifient\(f''(x)=\sin x\) on écrit :

  \(f(x) = -\cos x + k\) et non \(\displaystyle{f'(x) = \int \sin x dx}\) puis

  \(\displaystyle{f(x) = - \sin x + kx + k'}\) et surtout pas \(\displaystyle{\int (\int \sin x dx)}\)