Exemples de calcul d'intégrales impropres

Étude de \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\textrm e^{-t}dt}\)

Ce procédé a été utilisé au début du chapitre . Ainsi à partir de l'égalité \(\displaystyle{\forall x>0,\int_{0}^{x}\textrm e^{-t}dt=1-\textrm e^{-x}}\), on déduit, en faisant tendre \(x\) vers \(+\infty\), que l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\textrm e^{-t}dt}\) est convergente et vaut \(1\).

Étude de \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^2}}\)

A partir de l'égalité \(\displaystyle{\int_0^{x}\frac{dt}{1+t^2}=\arctan x}\), on déduit que, quand \(x\) tend vers \(+\infty\), la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\int_0^{x}\frac{dt}{1+t^2}}\) a une limite qui vaut\( \displaystyle{\frac{\pi}{2}}\). On a donc, sur cet exemple très simple, simultanément montré la convergence de l'intégrale et calculé sa valeur.

Étude de\( \displaystyle{\int_{-1}^{1}\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}}\)

On a \(\displaystyle{\int_{-1}^{1}\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\int_{-1}^{0}\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}+\int_{0}^{1}\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}}\)

Pour la première intégrale, on étudie la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\int_x^0\frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}=-\arcsin x}\).

Quand \(x\) tend vers\( –1\), cette fonction a une limite qui vaut \(\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\).

On montre de même que : \(\displaystyle{\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\lim_{x\to1}[\arcsin t]_0^x=\frac{\pi}{2}}\), d'où \(\displaystyle{\int_{-1}^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\pi}\)

Comme précédemment, on a simultanément montré l'existence de l'intégrale et calculé sa valeur.

Etude de \(\displaystyle{\mathcal I_n=\int_0^{+\infty}t^n\textrm e^{-t}dt}\)

On considère, pour un entier naturel n, l'intégrale \(\displaystyle{\mathcal I_n=\int_0^{+\infty}t^n\textrm e^{-t}dt}\).

Pour tout entier naturel \(n\), on appelle \(\mathcal P(n)\) la propriété : \(\mathcal I_n\) existe et vaut \(n!\). Montrons par récurrence que la propriété \(\mathcal P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

On sait que \(\mathcal I_0\) existe et vaut \(1\). On suppose que \(\mathcal I_n\) existe pour un certain entier \(n\), et vaut \(n!\). On a, en intégrant par parties :

Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), le premier terme tend vers \(0\) et le second a une limite par hypothèse. L'intégrale \(\mathcal I_{n+1}\) existe et vérifie la relation :

La propriété est héréditaire et vraie au rang initial. Donc la propriété \(\mathcal P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).

Comme précédemment, on a simultanément montré l'existence de l'intégrale (qui était facile à établir avec les théorèmes usuels), et calculé sa valeur.

On considère l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{\arctan t}{1+t^2}dt}\)

Pour tout\(x\) réel strictement positif, on pose dans l'intégrale \(\displaystyle{\mathcal I(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan t}{1+t^2}dt}\), le changement de variable\( u=\arctan t\).

On obtient alors : \(\displaystyle{\mathcal I(x)=\int_0^{\arctan x}udu=\left[\frac{u^2}{2}\right]_0^{\arctan x}=\frac{1}{2}((\arctan x)^2-0)}\)

Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on a donc : \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\mathcal I(x)=\frac{\pi^2}{8}}\). D'où :\(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{\arctan t}{1+t^2}dt=\frac{\pi^2}{8}}\).

Les calculs faits nous ont montré simultanément la convergence de l'intégrale (qu'il était facile d'obtenir directement), et nous ont fourni sa valeur.