La fonction est définie et continue sur l’intervalle ouvert sur lequel elle est donc localement intégrable. Quand tend vers , elle tend vers . Il est donc nécessaire d’étudier séparément les deux intégrales et .

  • Étude de

    Au voisinage de on a :

    soit .

    On en déduit : quand tend vers (car tend vers ) (voir rappel).

    Or, l'intégrale est convergente. L'intégrale est donc convergente.

Rappel

On rappelle (et on peut s'exercer à le redémontrer) que si deux fonctions et infiniment grandes (resp. petites) et positives sont équivalentes, les fonctions et sont équivalentes. Ceci est faux pour d'autres fonctions comme l'exponentielle.

  • Étude de l’intégrale

    Quand tend vers , on a : et donc . La fonction étant négative, et l'intégrale convergente, l'intégrale est convergente.

    Conclusion : l'intégrale est convergente.