Dans un cas comme dans l’autre, il s’agit de l’intégrale d’une fonction non bornée sur un intervalle borné. La fonction est définie et continue sur l’intervalle , sur lequel elle est donc localement intégrable. La fonction est définie et continue sur l’intervalle , sur lequel elle est donc localement intégrable. Les deux fonctions gardent un signe constant négatif sur l’intervalle considéré.

  • Étude de l’intégrale

    Quand tend vers , on a , d'où l'on déduit : . (voir rappel).

    L 'intégrale est de même nature que l'intégrale , c'est-à-dire convergente.

Rappel

On rappelle une fois encore, mais ce qui va sans dire va encore mieux en étant dit, que si deux fonctions et infiniment grandes (resp. petites) et positives sont équivalentes, les fonctions et sont équivalentes. C’est faux pour d’autres fonctions que le logarithme, l’exponentielle par exemple.

  • Étude de l’intégrale

    Considérons l’intégrale définie . En faisant le changement de variable , on obtient l’intégrale . D’après ce qui précède, cette intégrale a une limite quand tend vers . Il en est donc de même pour l’intégrale et les deux limites sont égales.