On étudie séparément les intégrales et pour voir ce qui se passe aux deux bornes.

Remarque

On peut remplacer la borne commune par un autre point de l'intervalle .

  1. Pour  :

    la fonction garde un signe constant sur l'intervalle d'intégration et, quand x tend vers 0 on a .

    Discuter suivant les valeurs de  : et

  2. Pour  :

    Discuter suivant les valeurs de  : , et .

    • si , comparer la fonction avec la fonction

    • si , la fonction étant sur l'intervalle fermé , on effectue une intégration par parties et on étudie séparément chaque terme de la somme obtenue.

    • si , il faut montrer que l'intégrale est divergente.

      On met en évidence une suite de points, ici , tendant vers , telle que la série de terme général soit divergente.

      Posons et on étudie .