1. Condition nécessaire :

    Si est un minimum, cet ensemble est contenu dans tous les éléments de et donc dans leur intersection.

    appartient à et donc contient l'intersection des éléments de est donc l'intersection des éléments de

  2. Condition suffisante :

    Réciproquement, si l'intersection de tous les éléments de qui est un minorant des éléments de appartient à c'est un minimum.

Même démonstration pour le maximum, la réunion remplace l'intersection.